Mathématiques de base Exemples

$\sqrt{y^{2} - 1} = 1 + y$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = {(1 + y)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} - 1}$ comme ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + y)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + y)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + y)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{2} - 1)}^{1} = {(1 + y)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$y^{2} - 1 = {(1 + y)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(1 + y)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(1 + y)}^{2}$ comme $(1 + y) (1 + y)$ .

$y^{2} - 1 = (1 + y) (1 + y)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(1 + y) (1 + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 1 = 1 (1 + y) + y (1 + y)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 1 = 1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 1 = 1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y + y \cdot y$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y + y^{2}$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$y^{2} - 1 = 1 + 2 y + y^{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$1 + 2 y + y^{2} = y^{2} - 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$1 + 2 y + y^{2} - y^{2} = - 1$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $1 + 2 y + y^{2} - y^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$1 + 2 y + 0 = - 1$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $1 + 2 y$ et $0$ .

$1 + 2 y = - 1$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = - 1 - 1$

Étape 3.3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$2 y = - 2$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 y = - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = - 2$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$y = - 1$