Mathématiques de base Exemples

$p - 4^{4} \sqrt{p} - 5 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 4^{4} \sqrt{p}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $p$ des deux côtés de l’équation.

$- 4^{4} \sqrt{p} - 5 = - p$

Étape 1.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4^{4} \sqrt{p} = - p + 5$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 4^{4} \sqrt{p})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{p}$ comme $p^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4^{4} p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- 4^{4} p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

${(- 1 \cdot 256 p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $256$ .

${(- 256 p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $- 256 p^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 256)}^{2} {(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Élevez $- 256$ à la puissance $2$ .

$65536 {(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$65536 p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$65536 p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$65536 p^{1} = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.6

Simplifiez

$65536 p = {(- p + 5)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- p + 5)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(- p + 5)}^{2}$ comme $(- p + 5) (- p + 5)$ .

$65536 p = (- p + 5) (- p + 5)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(- p + 5) (- p + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$65536 p = - p (- p + 5) + 5 (- p + 5)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$65536 p = - p (- p) - p \cdot 5 + 5 (- p + 5)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$65536 p = - p (- p) - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$65536 p = - 1 \cdot - 1 p \cdot p - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $p$ par $p$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $p$ .

$65536 p = - 1 \cdot - 1 (p \cdot p) - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $p$ par $p$ .

$65536 p = - 1 \cdot - 1 p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$65536 p = 1 p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $p^{2}$ par $1$ .

$65536 p = p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p - 5 p + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p - 5 p + 25$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $5 p$ de $- 5 p$ .

$65536 p = p^{2} - 10 p + 25$

Étape 4

Résolvez $p$ .

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Étape 4.1

Comme $p$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$p^{2} - 10 p + 25 = 65536 p$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $p$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $65536 p$ des deux côtés de l’équation.

$p^{2} - 10 p + 25 - 65536 p = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $65536 p$ de $- 10 p$ .

$p^{2} - 65546 p + 25 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 65546$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $p$ .

$\frac{65546 \pm \sqrt{{(- 65546)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 65546$ à la puissance $2$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $100$ de $4296278116$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278016}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $4296278016$ comme $1536^{2} \cdot 1821$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $2359296$ à partir de $4296278016$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{2359296 (1821)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $2359296$ comme $1536^{2}$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{1536^{2} \cdot 1821}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$p = \frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$p = \frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2}$ .

$p = 32773 \pm 768 \sqrt{1821}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}, 32773 - 768 \sqrt{1821}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $p - 4^{4} \sqrt{p} - 5 = 0$ vrai.

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}$

Forme décimale :

$p = 65545.99961858 \dots$