Mathématiques de base Exemples

$r = 2 y^{2} + 2 y - 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{2} + 2 y - 1 = r$ .

$2 y^{2} + 2 y - 1 = r$

Étape 2

Soustrayez $r$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} + 2 y - 1 - r = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 2$ et $c = - 1 - r$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 1 - r))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) - 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 1 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot (- 1 - r)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot - 1 - 2 (- r)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 2 - 2 (- r)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 2 + 2 r))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (3 + 2 r))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3 + 2 r)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (3 + 2 r)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3 + 2 r}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3 + 2 r}}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3 + 2 r}}{4}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{3 + 2 r}}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{1 - \sqrt{3 + 2 r}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{2 r + 3}}{2}$