Mathématiques de base Exemples

$\log (y) + \log (y - 9) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (y (y - 9)) = 1$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (y \cdot y + y \cdot - 9) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\log (y^{2} + y \cdot - 9) = 1$

Étape 1.3.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $y$ .

$\log (y^{2} - 9 y) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log (y^{2} - 9 y) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = y^{2} - 9 y$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} - 9 y = 10^{1}$ .

$y^{2} - 9 y = 10$

Étape 3.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 9 y - 10 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $y^{2} - 9 y - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 10, 1$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y - 10) (y + 1) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 10 = 0$

$y + 1 = 0$

Étape 3.5

Définissez $y - 10$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $y - 10$ égal à $0$ .

$y - 10 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 10$

Étape 3.6

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 10) (y + 1) = 0$ vraie.

$y = 10, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (y) + \log (y - 9) = 1$ vrai.

$y = 10$