Mathématiques de base Exemples

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez $- \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(y - 9)}^{2}$ comme $(y - 9) (y - 9)$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot ((y - 9) (y - 9))$

Étape 1.2

Développez $(y - 9) (y - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y (y - 9) - 9 (y - 9))$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 (y - 9))$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 \cdot y - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 y - 9 y + 81)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $9 y$ de $- 9 y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 18 y + 81)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{3} y^{2} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 18 y$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Étape 1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - 2 (- 6 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - \frac{2}{3} \cdot 81$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot 81$

Étape 1.5.4.2

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (27))$

Étape 1.5.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 27)$

Étape 1.5.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 2 \cdot 27$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 2$ par $27$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 54$

Étape 1.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$y = - \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54$

Étape 2

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 = y$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 - y = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $y$ de $12 y$ .

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 11 y - 54 = 0$

Étape 4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- \frac{2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 y^{2}}{3}$ dans le numérateur.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 y^{2} + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Étape 4.2.2

Multipliez $11$ par $3$ .

$- 2 y^{2} + 33 y + 3 \cdot - 54 = 0$

Étape 4.2.3

Multipliez $3$ par $- 54$ .

$- 2 y^{2} + 33 y - 162 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = 33$ et $c = - 162$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 162)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $33$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 4 \cdot - 2 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot - 162$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 + 8 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $8$ par $- 162$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 1296}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $1296$ de $1089$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 207}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- 207$ comme $- 1 (207)$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1 \cdot 207}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (207)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $207$ comme $3^{2} \cdot 23$ .

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Étape 7.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $207$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{9 (23)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot (3 \sqrt{23})}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$ .

$y = \frac{33 \pm 3 i \sqrt{23}}{4}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{33 + 3 i \sqrt{23}}{4}, \frac{33 - 3 i \sqrt{23}}{4}$