Mathématiques de base Exemples

$8 y^{3} + 125 = 0$

Étape 1

Soustrayez $125$ des deux côtés de l’équation.

$8 y^{3} = - 125$

Étape 2

Ajoutez $125$ aux deux côtés de l’équation.

$8 y^{3} + 125 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $8 y^{3}$ comme ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} + 125 = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

${(2 y)}^{3} + 5^{3} = 0$

Étape 3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 2 y$ et $b = 5$ .

$(2 y + 5) ({(2 y)}^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$(2 y + 5) (2^{2} y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 3.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 3.4.4

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 5^{2}) = 0$

Étape 3.4.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 25) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 y + 5 = 0$

$4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Étape 5

Définissez $2 y + 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 y + 5$ égal à $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 y + 5 = 0$ pour $y$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = - 5$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6

Définissez $4 y^{2} - 10 y + 25$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez $4 y^{2} - 10 y + 25$ égal à $0$ .

$4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$ pour $y$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 10$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 25)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 25$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $25$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $400$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 300$ comme $- 1 (300)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (300)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $300$ comme $10^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $100$ à partir de $300$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $10$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 25) = 0$ vraie.

$y = - \frac{5}{2}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}$