Mathématiques de base Exemples

$8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}} = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ à partir de $8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ à partir de $8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}} = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ à partir de ${(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ à partir de ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}}) = 0$

Étape 1.2

Divisez $3$ par $3$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + y^{2} - 4) = 0$

Étape 1.3

Simplifiez

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + y^{2} - 4) = 0$

Étape 1.4

Additionnez $8 y^{2}$ et $y^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (9 y^{2} - 4) = 0$

Étape 1.5

Factorisez.

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Étape 1.5.1

Réécrivez $9 y^{2} - 4$ en forme factorisée.

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ({(3 y)}^{2} - 4) = 0$

Étape 1.5.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.5.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 y$ et $b = 2$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ((3 y + 2) (3 y - 2)) = 0$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 y + 2) (3 y - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$

$3 y + 2 = 0$

$3 y - 2 = 0$

Étape 3

Définissez ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Définissez ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ égal à $0$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 3.2

Résolvez ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $y^{2} - 4$ égal à $0$ .

$y^{2} - 4 = 0$

Étape 3.2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 3.2.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} = 4$

Étape 3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 3.2.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.2.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 2$

Étape 3.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 2$

Étape 3.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 2$

Étape 3.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 2, - 2$

Étape 4

Définissez $3 y + 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 y + 2$ égal à $0$ .

$3 y + 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3 y + 2 = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = - 2$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 y = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{3}$

Étape 5

Définissez $3 y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 y - 2$ égal à $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 y - 2 = 0$ pour $y$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = 2$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 y = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 2$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 y + 2) (3 y - 2) = 0$ vraie.

$y = 2, - 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = 2, - 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Forme décimale :

$y = 2, - 2, - 0.\overline{6}, 0.\overline{6}$