Mathématiques de base Exemples

$3 \cdot 3^{2 y} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Étape 1

Réécrivez $3^{2 y}$ comme une élévation à une puissance.

$3 \cdot {(3^{y})}^{2} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Étape 2

Remplacez $3^{y}$ par $u$ .

$3 \cdot u^{2} - 4 \cdot u = - 1$

Étape 3

Multipliez $- 4$ par $u$ .

$3 u^{2} - 4 u = - 1$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Étape 4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1$ plus $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Étape 4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 4.4

Définissez $3 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $3 u - 1$ égal à $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $3 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u = 1$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = 1$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Étape 4.5

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 u - 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{3}, 1$

Étape 5

Remplacez $u$ par $\frac{1}{3}$ dans $u = 3^{y}$ .

$\frac{1}{3} = 3^{y}$

Étape 6

Résolvez $\frac{1}{3} = 3^{y}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $3^{y} = \frac{1}{3}$ .

$3^{y} = \frac{1}{3}$

Étape 6.2

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{3^{1}}$

Étape 6.3

Placez $3^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{y} = 3^{- 1}$

Étape 6.4

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$y = - 1$

Étape 7

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = 3^{y}$ .

$1 = 3^{y}$

Étape 8

Résolvez $1 = 3^{y}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $3^{y} = 1$ .

$3^{y} = 1$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{y}) = \ln (1)$

Étape 8.3

Développez $\ln (3^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (3) = \ln (1)$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$y \ln (3) = 0$

Étape 8.5

Divisez chaque terme dans $y \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 8.5.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 8.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 8.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 8.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 8.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (3)$ .

$y = 0$

Étape 9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$y = - 1, 0$