Mathématiques de base Exemples

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 1

Simplifiez $0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 + 0 + 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ comme $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 ((y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3}))$

Étape 1.3

Développez $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y (y - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Étape 1.4.1.2

Associez $y$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Étape 1.4.1.3

Associez $y$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3})$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 1.4.1.4.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3})$

Étape 1.4.1.4.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Étape 1.4.2

Soustrayez $\frac{y}{3}$ de $- \frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - 2 \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1

Associez $- 2$ et $\frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Étape 1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Étape 1.6

Multipliez $0$ par $y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 84}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $84$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 80$ comme $- 1 (80)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (80)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $80$ comme $4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$ .

$y = \frac{1 \pm 2 i \sqrt{5}}{3}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + 2 i \sqrt{5}}{3}, \frac{1 - 2 i \sqrt{5}}{3}$