Mathématiques de base Exemples

$3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{y^{2} - 3 y + 6} = 3 y - 4$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ comme ${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{1} = {(3 y - 4)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$y^{2} - 3 y + 6 = {(3 y - 4)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(3 y - 4)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(3 y - 4)}^{2}$ comme $(3 y - 4) (3 y - 4)$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = (3 y - 4) (3 y - 4)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(3 y - 4) (3 y - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y - 4) - 4 (3 y - 4)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y - 4)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y - 4 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y + 16$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $12 y$ de $- 12 y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 24 y + 16$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $9 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} = - 24 y + 16$

Étape 4.1.2

Ajoutez $24 y$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} + 24 y = 16$

Étape 4.1.3

Soustrayez $9 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 8 y^{2} - 3 y + 6 + 24 y = 16$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 3 y$ et $24 y$ .

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 = 16$

Étape 4.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 - 16 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $16$ de $6$ .

$- 8 y^{2} + 21 y - 10 = 0$

Étape 4.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 y^{2} + 21 y - 10$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 y^{2}$ .

$- (8 y^{2}) + 21 y - 10 = 0$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $21 y$ .

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 10 = 0$

Étape 4.4.1.3

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Étape 4.4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 y^{2}) - (- 21 y)$ .

$- (8 y^{2} - 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Étape 4.4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 y^{2} - 21 y) - 1 (10)$ .

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.4.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot 10 = 80$ et dont la somme est $b = - 21$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Factorisez $- 21$ à partir de $- 21 y$ .

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Étape 4.4.2.1.1.2

Réécrivez $- 21$ comme $- 5$ plus $- 16$

$- (8 y^{2} + (- 5 - 16) y + 10) = 0$

Étape 4.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (8 y^{2} - 5 y - 16 y + 10) = 0$

Étape 4.4.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.4.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((8 y^{2} - 5 y) - 16 y + 10) = 0$

Étape 4.4.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (y (8 y - 5) - 2 (8 y - 5)) = 0$

Étape 4.4.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $8 y - 5$ .

$- ((8 y - 5) (y - 2)) = 0$

Étape 4.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (8 y - 5) (y - 2) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$8 y - 5 = 0$

$y - 2 = 0$

Étape 4.6

Définissez $8 y - 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $8 y - 5$ égal à $0$ .

$8 y - 5 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $8 y - 5 = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.6.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$8 y = 5$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $8 y = 5$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y = 5$ par $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5}{8}$

Étape 4.7

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (8 y - 5) (y - 2) = 0$ vraie.

$y = \frac{5}{8}, 2$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ vrai.

$y = 2$