Mathématiques de base Exemples

$z^{- 4} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 \frac{1}{z^{2}} - 4 = 0$

Étape 1.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{z^{2}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} + \frac{- 3}{z^{2}} - 4 = 0$

Étape 1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$z^{4}, z^{2}, 1, 1$

Étape 2.2

Since $z^{4}, z^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $z^{4}, z^{2}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Les facteurs pour $z^{4}$ sont $z \cdot z \cdot z \cdot z$ , qui correspond à $z$ multipliés entre eux $4$ fois.

$z^{4} = z \cdot z \cdot z \cdot z$

$z$ se produit $4$ fois.

Étape 2.7

Les facteurs pour $z^{2}$ sont $z \cdot z$ , qui correspond à $z$ multipliés entre eux $2$ fois.

$z^{2} = z \cdot z$

$z$ se produit $2$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $z^{4}, z^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$z \cdot z \cdot z \cdot z$

Étape 2.9

Simplifiez $z \cdot z \cdot z \cdot z$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$z^{2} \cdot z \cdot z$

Étape 2.9.2

Multipliez $z^{2}$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.2.1

Multipliez $z^{2}$ par $z$ .

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Étape 2.9.2.1.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$z^{2} \cdot z^{1} \cdot z$

Étape 2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z^{2 + 1} \cdot z$

Étape 2.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$z^{3} \cdot z$

Étape 2.9.3

Multipliez $z^{3}$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.3.1

Multipliez $z^{3}$ par $z$ .

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Étape 2.9.3.1.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$z^{3} \cdot z^{1}$

Étape 2.9.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z^{3 + 1}$

Étape 2.9.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$z^{4}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ par $z^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ par $z^{4}$ .

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $z^{4}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $z^{2}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{z^{2}}$ dans le numérateur.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez $z^{2}$ à partir de $z^{4}$ .

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Étape 3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Étape 3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $0$ par $z^{4}$ .

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Remplacez $u = z^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- 4 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

$u = z^{2}$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 u^{2} - 3 u + 1$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 3 u + 1 = 0$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 u$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) + 1 = 0$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 4.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 u^{2} + 3 u) - 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$- (4 u^{2} + 3 (u) - 1) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$- (4 u^{2} + (- 1 + 4) u - 1) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 u^{2} - 1 u + 4 u - 1) = 0$

Étape 4.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((4 u^{2} - 1 u) + 4 u - 1) = 0$

Étape 4.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (u (4 u - 1) + 1 (4 u - 1)) = 0$

Étape 4.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (u + 1)) = 0$

Étape 4.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (4 u - 1) (u + 1) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 4.4

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $4 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 u = 1$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Étape 4.5

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (4 u - 1) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{4}, - 1$

Étape 4.7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = z^{2}$ dans l’équation résolue.

$z^{2} = \frac{1}{4}$

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Étape 4.8

Résolvez la première équation pour $z$ .

$z^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 4.9

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 4.9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 4.9.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.9.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 4.9.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.9.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.9.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \pm \frac{1}{2}$

Étape 4.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \frac{1}{2}$

Étape 4.9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \frac{1}{2}$

Étape 4.9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 4.10

Résolvez la deuxième équation pour $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Étape 4.11

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 4.11.1

Supprimez les parenthèses.

$z^{2} = - 1$

Étape 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 4.11.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \pm i$

Étape 4.11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = i$

Étape 4.11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - i$

Étape 4.11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = i, - i$

Étape 4.12

La solution à $- 4 z^{4} - 3 z^{2} + 1 = 0$ est $z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$ .

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$