Mathématiques de base Exemples

${(1 + z)}^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{5} + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 \cdot (1 z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 z + 10 \cdot (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.2.5

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.2.7

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.2.8

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Étape 1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1 (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 (- z) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1 {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 {(- z)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.7

Appliquez la règle de produit à $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 ({(- 1)}^{2} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.9

Multipliez $z^{2}$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.11

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 {(- z)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.12

Appliquez la règle de produit à $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 (- z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.14

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.15

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 {(- z)}^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.16

Appliquez la règle de produit à $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.17

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 (1 z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.18

Multipliez $z^{4}$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Étape 1.4.19

Appliquez la règle de produit à $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- 1)}^{5} z^{5}) = 0$

Étape 1.4.20

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} - z^{5}) = 0$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 \cdot 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Étape 1.6.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Étape 1.6.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Étape 1.6.4

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Étape 1.6.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Étape 1.6.6

Multipliez $- - z^{5}$ .

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Étape 1.6.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + 1 z^{5} = 0$

Étape 1.6.6.2

Multipliez $z^{5}$ par $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Étape 1.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 0 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Étape 1.8

Additionnez $5 z$ et $0$ .

$10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Étape 1.9

Soustrayez $10 z^{2}$ de $10 z^{2}$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Étape 1.10

Additionnez $10 z^{3}$ et $0$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Étape 1.11

Additionnez $10 z^{3}$ et $10 z^{3}$ .

$20 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Étape 1.12

Soustrayez $5 z^{4}$ de $5 z^{4}$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + z^{5} = 0$

Étape 1.13

Additionnez $20 z^{3}$ et $0$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + z^{5} = 0$

Étape 1.14

Additionnez $z^{5}$ et $z^{5}$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 5 z + 5 z = 0$

Étape 1.15

Additionnez $5 z$ et $5 z$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 10 z = 0$

Étape 1.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Étape 1.17

Factorisez $2 z$ à partir de $2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z$ .

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Étape 1.17.1

Factorisez $2 z$ à partir de $2 z^{5}$ .

$2 z (z^{4}) + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Étape 1.17.2

Factorisez $2 z$ à partir de $20 z^{3}$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 10 z = 0$

Étape 1.17.3

Factorisez $2 z$ à partir de $10 z$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Étape 1.17.4

Factorisez $2 z$ à partir de $2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2})$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Étape 1.17.5

Factorisez $2 z$ à partir de $2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5)$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z = 0$

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Étape 3

Définissez $z$ égal à $0$ .

$z = 0$

Étape 4

Définissez $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 4.1

Définissez $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ égal à $0$ .

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ pour $z$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $u = z^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 10 u + 5 = 0$

$u = z^{2}$

Étape 4.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 10$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4

Simplifiez

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.3

Soustrayez $20$ de $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.4

Réécrivez $80$ comme $4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.2.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 \sqrt{5}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 5 + 2 \sqrt{5}, - 5 - 2 \sqrt{5}$

Étape 4.2.6

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = z^{2}$ dans l’équation résolue.

$z^{2} = - 0.52786404$

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Étape 4.2.7

Résolvez la première équation pour $z$ .

$z^{2} = - 0.52786404$

Étape 4.2.8

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 0.52786404}$

Étape 4.2.8.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- 0.52786404}$ .

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Étape 4.2.8.2.1

Réécrivez $- 0.52786404$ comme $- 1 (0.52786404)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (0.52786404)}$

Étape 4.2.8.2.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (0.52786404)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$

Étape 4.2.8.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \pm i \sqrt{0.52786404}$

Étape 4.2.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.8.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = i \sqrt{0.52786404}$

Étape 4.2.8.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - i \sqrt{0.52786404}$

Étape 4.2.8.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}$

Étape 4.2.9

Résolvez la deuxième équation pour $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Étape 4.2.10

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 4.2.10.1

Supprimez les parenthèses.

$z^{2} = - 9.47213595$

Étape 4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 9.47213595}$

Étape 4.2.10.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9.47213595}$ .

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Étape 4.2.10.3.1

Réécrivez $- 9.47213595$ comme $- 1 (9.47213595)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (9.47213595)}$

Étape 4.2.10.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9.47213595)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$

Étape 4.2.10.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \pm i \sqrt{9.47213595}$

Étape 4.2.10.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.10.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = i \sqrt{9.47213595}$

Étape 4.2.10.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - i \sqrt{9.47213595}$

Étape 4.2.10.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Étape 4.2.11

La solution à $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ est $z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$ .

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$ vraie.

$z = 0, i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$