Mathématiques de base Exemples

$\frac{z}{3} + \frac{3}{z} = \frac{z}{12} + \frac{12}{z}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3, z, 12, z$

Étape 1.2

Since $3, z, 12, z$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 12, 1$ then find LCM for the variable part $z^{1}, z^{1}$ .

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 1.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.6

Les facteurs premiers pour $12$ sont $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 1.6.1

$12$ a des facteurs de $2$ et $6$ .

$2 \cdot 6$

Étape 1.6.2

$6$ a des facteurs de $2$ et $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 1.7

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $3, 1, 12, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 1.9

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 1.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3$

Étape 1.9.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$

Étape 1.10

Le facteur pour $z^{1}$ est $z$ lui-même.

$z^{1} = z$

$z$ se produit $1$ fois.

Étape 1.11

Le plus petit multiple commun de $z^{1}, z^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$z$

Étape 1.12

Le plus petit multiple commun pour $3, z, 12, z$ est la partie numérique $12$ multipliée par la partie variable.

$12 z$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{z}{3} + \frac{3}{z} = \frac{z}{12} + \frac{12}{z}$ par $12 z$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{z}{3} + \frac{3}{z} = \frac{z}{12} + \frac{12}{z}$ par $12 z$ .

$\frac{z}{3} (12 z) + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{z}{3} z + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$3 (4) \frac{z}{3} z + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 4 \frac{z}{3} z + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 z \cdot z + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.3.1

Déplacez $z$ .

$4 (z \cdot z) + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$4 z^{2} + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 z^{2} + 12 \frac{3}{z} z = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $12 \frac{3}{z}$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Associez $12$ et $\frac{3}{z}$ .

$4 z^{2} + \frac{12 \cdot 3}{z} z = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.5.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$4 z^{2} + \frac{36}{z} z = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 z^{2} + \frac{36}{z} z = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 z^{2} + 36 = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 z^{2} + 36 = 12 \frac{z}{12} z + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 z^{2} + 36 = 12 \frac{z}{12} z + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 z^{2} + 36 = z \cdot z + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $z$ par $z$ .

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + \frac{12}{z} (12 z)$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + 12 \frac{12}{z} z$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $12 \frac{12}{z}$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $12$ et $\frac{12}{z}$ .

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + \frac{12 \cdot 12}{z} z$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $12$ par $12$ .

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + \frac{144}{z} z$

Étape 2.3.1.6

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 2.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + \frac{144}{z} z$

Étape 2.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + 144$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $z$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $z^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 z^{2} + 36 - z^{2} = 144$

Étape 3.1.2

Soustrayez $z^{2}$ de $4 z^{2}$ .

$3 z^{2} + 36 = 144$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$3 z^{2} = 144 - 36$

Étape 3.2.2

Soustrayez $36$ de $144$ .

$3 z^{2} = 108$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $3 z^{2} = 108$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 z^{2} = 108$ par $3$ .

$\frac{3 z^{2}}{3} = \frac{108}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 z^{2}}{3} = \frac{108}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $z^{2}$ par $1$ .

$z^{2} = \frac{108}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $108$ par $3$ .

$z^{2} = 36$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{36}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \pm 6$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = 6$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - 6$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = 6, - 6$