Mathématiques de base Exemples

$2 z + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $z$ comme ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$2 {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = z^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $z^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} - 1 u) + 4 u - 2 = 0$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 z^{\frac{1}{2}} - 1) (z^{\frac{1}{2}} + 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

$z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Étape 3

Définissez $2 z^{\frac{1}{2}} - 1$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 z^{\frac{1}{2}} - 1$ égal à $0$ .

$2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ pour $z$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 z^{\frac{1}{2}} = 1$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(2 z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 z^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 z^{1} = 1^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.4

Simplifiez

$4 z = 1^{2}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 z = 1$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $4 z = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $4 z = 1$ par $4$ .

$\frac{4 z}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 z}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{1}{4}$

Étape 4

Définissez $z^{\frac{1}{2}} + 2$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 4.1

Définissez $z^{\frac{1}{2}} + 2$ égal à $0$ .

$z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ pour $z$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$z^{\frac{1}{2}} = - 2$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z^{1} = {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$z = {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$z = 4$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 z^{\frac{1}{2}} - 1) (z^{\frac{1}{2}} + 2) = 0$ vraie.

$z = \frac{1}{4}, 4$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 z + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ vrai.

$z = \frac{1}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$z = \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$z = 0.25$