Mathématiques de base Exemples

$4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = z^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$4 u^{2} - 5 u + 9 = 0$

$u = z^{2}$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 5$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $144$ de $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 119$ comme $- 1 (119)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (119)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Étape 6

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = z^{2}$ dans l’équation résolue.

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Étape 7

Résolvez la première équation pour $z$ .

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$

Étape 8.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ .

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Étape 8.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ comme $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 8.2.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.2.4.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 8.2.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 8.2.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.2.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.2.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.2.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 8.2.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Étape 8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Étape 8.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Étape 8.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Étape 9

Résolvez la deuxième équation pour $z$ .

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$z^{2} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Étape 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$

Étape 10.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ .

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Étape 10.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ comme $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 10.3.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 10.3.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 10.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 10.3.3

Multipliez $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 10.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 10.3.4.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 10.3.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 10.3.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 10.3.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 10.3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 10.3.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.3.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.3.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.3.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 10.3.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 10.3.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 10.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Étape 10.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Étape 10.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Étape 10.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Étape 11

La solution à $4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$ est $z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$ .

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$