Mathématiques de base Exemples

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = z^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$5 u^{2} + 16 u - 45 = 0$

$u = z^{2}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 45 = - 225$ et dont la somme est $b = 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 u$ .

$5 u^{2} + 16 (u) - 45 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $16$ comme $- 9$ plus $25$

$5 u^{2} + (- 9 + 25) u - 45 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 u^{2} - 9 u + 25 u - 45 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 u^{2} - 9 u) + 25 u - 45 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (5 u - 9) + 5 (5 u - 9) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 u - 9$ .

$(5 u - 9) (u + 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 u - 9 = 0$

$u + 5 = 0$

Étape 4

Définissez $5 u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $5 u - 9$ égal à $0$ .

$5 u - 9 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $5 u - 9 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$5 u = 9$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 u = 9$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 u = 9$ par $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{9}{5}$

Étape 5

Définissez $u + 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $u + 5$ égal à $0$ .

$u + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 5$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 u - 9) (u + 5) = 0$ vraie.

$u = \frac{9}{5}, - 5$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = z^{2}$ dans l’équation résolue.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $z$ .

$z^{2} = \frac{9}{5}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{9}{5}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{9}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Étape 9.2.3

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.2.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 9.2.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 9.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 9.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$z^{2} = - 5$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \pm i \sqrt{5}$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = i \sqrt{5}$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - i \sqrt{5}$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 12

La solution à $5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$ est $z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ .

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$