Mathématiques de base Exemples

$z = \frac{1}{z^{2}}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, z^{2}$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$z^{2}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $z = \frac{1}{z^{2}}$ par $z^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $z = \frac{1}{z^{2}}$ par $z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Multipliez $z$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $z$ par $z^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$z^{1} z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z^{1 + 2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $z^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$z^{3} = 1$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$z^{3} - 1 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$z^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = z$ et $b = 1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $z$ par $1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z - 1 = 0$

$z^{2} + z + 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $z - 1$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $z - 1$ égal à $0$ .

$z - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 1$

Étape 3.5

Définissez $z^{2} + z + 1$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $z^{2} + z + 1$ égal à $0$ .

$z^{2} + z + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $z^{2} + z + 1 = 0$ pour $z$ .

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Étape 3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$ vraie.

$z = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$