Mathématiques de base Exemples

$z = (17 + 9 i) + \frac{5 (1 + i)}{2 - i}$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 (1 + i)}{2 - i}$

Étape 2

Simplifiez $17 + 9 i + \frac{5 (1 + i)}{2 - i}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{5 (1 + i)}{2 - i}$ par le conjugué de $2 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 (1 + i)}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i}$

Étape 2.1.2

Multipliez.

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Étape 2.1.2.1

Associez.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 (1 + i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$z = 17 + 9 i + \frac{(5 \cdot 1 + 5 i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{(5 + 5 i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.3

Développez $(5 + 5 i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 (2 + i) + 5 i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 \cdot 2 + 5 i + 5 i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 \cdot 2 + 5 i + 5 i \cdot 2 + 5 i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.4.1.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{10 + 5 i + 5 i \cdot 2 + 5 i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{10 + 5 i + 10 i + 5 i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.1.3

Multipliez $5 i i$ .

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Étape 2.1.2.2.4.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{10 + 5 i + 10 i + 5 (i^{1} i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{10 + 5 i + 10 i + 5 (i^{1} i^{1})}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = 17 + 9 i + \frac{10 + 5 i + 10 i + 5 i^{1 + 1}}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{10 + 5 i + 10 i + 5 i^{2}}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{10 + 5 i + 10 i + 5 \cdot - 1}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{10 + 5 i + 10 i - 5}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.2

Soustrayez $5$ de $10$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 5 i + 10 i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.2.4.3

Additionnez $5 i$ et $10 i$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.3.1

Développez $(2 - i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{2 (2 + i) - i (2 + i)}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i (2 + i)}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i \cdot 2 - i i}$

Étape 2.1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 + 2 i - i \cdot 2 - i i}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 + 2 i - 2 i - i i}$

Étape 2.1.2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.1.2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.1.2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.1.2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{2}}$

Étape 2.1.2.3.2.7

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.1.2.3.2.8

Additionnez $4$ et $0$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 - i^{2}}$

Étape 2.1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 - - 1}$

Étape 2.1.2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{4 + 1}$

Étape 2.1.2.3.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 + 15 i}{5}$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun à $5 + 15 i$ et $5$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 \cdot 1 + 15 i}{5}$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $5$ à partir de $15 i$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 \cdot 1 + 5 (3 i)}{5}$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (1) + 5 (3 i)$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 (1 + 3 i)}{5}$

Étape 2.1.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$z = 17 + 9 i + \frac{5 (1 + 3 i)}{5 (1)}$

Étape 2.1.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$z = 17 + 9 i + \frac{5 (1 + 3 i)}{5 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$z = 17 + 9 i + \frac{1 + 3 i}{1}$

Étape 2.1.3.4.4

Divisez $1 + 3 i$ par $1$ .

$z = 17 + 9 i + 1 + 3 i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Additionnez $17$ et $1$ .

$z = 18 + 9 i + 3 i$

Étape 2.2.2

Additionnez $9 i$ et $3 i$ .

$z = 18 + 12 i$