Mathématiques de base Exemples

$y = \frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$ .

$\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$

Étape 2

Réalisez le produit en croix.

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Étape 2.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}}) = 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}})$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y \cdot \sqrt{4^{2} - z^{2}} = 4$

Étape 2.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = z$ .

$y \sqrt{(4 + z) (4 - z)} = 4$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(y \sqrt{(4 + z) (4 - z)})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(4 + z) (4 - z)}$ comme ${((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Développez $(4 + z) (4 - z)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(y {(4 (4 - z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.2.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

${(y {(16 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(y {(16 - 4 z + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.2.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 \cdot z + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z \cdot z)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.2.1.5

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - (z \cdot z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $z$ par $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $- 4 z$ et $4 z$ .

${(y {(16 + 0 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.2.3

Additionnez $16$ et $0$ .

${(y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} {({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{1} = 4^{2}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez

$y^{2} (16 - z^{2}) = 4^{2}$

Étape 4.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 16 + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Étape 4.2.1.7

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.2.1.7.1

Déplacez $16$ à gauche de $y^{2}$ .

$16 \cdot y^{2} + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Étape 4.2.1.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 4^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 16$

Étape 5

Résolvez $z$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $16 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ par $- y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ par $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} z^{2}}{- y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $z^{2}$ par $1$ .

$z^{2} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 16}{- 1}$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - 1 \cdot - 16$

Étape 5.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot - 16$ comme $- - 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - - 16$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + 16$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$

Étape 5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $16$ à partir de $- \frac{16}{y^{2}} + 16$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $16$ à partir de $- \frac{16}{y^{2}}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16}$

Étape 5.4.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)}$

Étape 5.4.1.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1^{2})}$

Étape 5.4.2.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(\frac{1}{y})}^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- {(\frac{1}{y})}^{2} + 1^{2})}$

Étape 5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- {(\frac{1}{y})}^{2}$ et $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1^{2} - {(\frac{1}{y})}^{2})}$

Étape 5.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1 + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Étape 5.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$z = \pm \sqrt{16 (\frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Étape 5.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (1 - \frac{1}{y})}$

Étape 5.4.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Étape 5.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} \frac{y - 1}{y}}$

Étape 5.4.8

Associez les exposants.

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Étape 5.4.8.1

Associez $16$ et $\frac{y + 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1)}{y} \cdot \frac{y - 1}{y}}$

Étape 5.4.8.2

Multipliez $\frac{16 (y + 1)}{y}$ par $\frac{y - 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y \cdot y}}$

Étape 5.4.8.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y}}$

Étape 5.4.8.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y^{1}}}$

Étape 5.4.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1 + 1}}}$

Étape 5.4.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}}$

Étape 5.4.9

Réécrivez $\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}$ comme ${(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))$ .

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Étape 5.4.9.1

Factorisez la puissance parfaite ${(2^{2})}^{2}$ dans $16 (y + 1) (y - 1)$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2}}}$

Étape 5.4.9.2

Factorisez la puissance parfaite $y^{2}$ dans $y^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.4.9.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$z = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}$

Étape 5.4.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \pm \frac{2^{2}}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.4.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$z = \pm \frac{4}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.4.12

Associez $\frac{4}{y}$ et $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$z = \pm \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$