Mathématiques de base Exemples

$9 z^{2} - 12 z y + 4 y^{2} = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = - 12 y$ et $c = 4 y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{12 y \pm \sqrt{{(- 12 y)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (4 y^{2}))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 9 \cdot 4 y^{2}$ comme ${(2 \cdot 3 \cdot 2 y)}^{2}$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{{(- 12 y)}^{2} - {(2 \cdot 3 \cdot (2 y))}^{2}}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 12 y$ et $b = 2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(- 12 y + 2 \cdot 3 \cdot (2 y)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 12 y + 2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

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Étape 3.1.3.1.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 12 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(2 y (- 6) + 2 \cdot 3 \cdot (2 y)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3.1.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(2 y (- 6) + 2 y (3 \cdot 2)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3.1.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (- 6) + 2 y (3 \cdot 2)$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 3 \cdot 2) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (6 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (12 y))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3.3.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - 12 y)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.4

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 12 y - 12 y))}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $12 y$ de $- 12 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y \cdot 0 \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.6

Associez les exposants.

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 y \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.6.3

Multipliez $0$ par $- 24$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 y}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.6.4

Multipliez $0$ par $y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \frac{12 y \pm 0}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.9

$12 y$ plus or minus $0$ is $12 y$ .

$z = \frac{12 y}{2 \cdot 9}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$z = \frac{12 y}{18}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $18$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $6$ à partir de $12 y$ .

$z = \frac{6 (2 y)}{18}$

Étape 3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$z = \frac{6 (2 y)}{6 (3)}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{6 (2 y)}{6 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{2 y}{3}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = \frac{2 y}{3}$ Racines doubles