Mathématiques de base Exemples

$9 z^{2} - {(z + 1)}^{2} = y - 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$9 z^{2} - {(z + 1)}^{2} - y = - 3$

Étape 1.1.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$9 z^{2} - {(z + 1)}^{2} - y + 3 = 0$

Étape 1.2

Simplifiez $9 z^{2} - {(z + 1)}^{2} - y + 3$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez ${(z + 1)}^{2}$ comme $(z + 1) (z + 1)$ .

$9 z^{2} - ((z + 1) (z + 1)) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.2

Développez $(z + 1) (z + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 z^{2} - (z (z + 1) + 1 (z + 1)) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 z^{2} - (z \cdot z + z \cdot 1 + 1 (z + 1)) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 z^{2} - (z \cdot z + z \cdot 1 + 1 z + 1 \cdot 1) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.3.1.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + z \cdot 1 + 1 z + 1 \cdot 1) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.3.1.2

Multipliez $z$ par $1$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + z + 1 z + 1 \cdot 1) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.3.1.3

Multipliez $z$ par $1$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + z + z + 1 \cdot 1) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + z + z + 1) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.3.2

Additionnez $z$ et $z$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + 2 z + 1) - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$9 z^{2} - z^{2} - (2 z) - 1 \cdot 1 - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9 z^{2} - z^{2} - 2 z - 1 \cdot 1 - y + 3 = 0$

Étape 1.2.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 z^{2} - z^{2} - 2 z - 1 - y + 3 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $z^{2}$ de $9 z^{2}$ .

$8 z^{2} - 2 z - 1 - y + 3 = 0$

Étape 1.2.3

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$8 z^{2} - 2 z - y + 2 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 8$ , $b = - 2$ et $c = - y + 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot (- y + 2))}}{2 \cdot 8}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot (- y + 2)}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot (- y + 2)}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32 (- y) - 32 \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 32$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32 y - 32 \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 32$ par $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32 y - 64}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $64$ de $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{32 y - 60}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.7

Factorisez $4$ à partir de $32 y - 60$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $32 y$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 (8 y) - 60}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 60$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 (8 y) + 4 (- 15)}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (8 y) + 4 (- 15)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 (8 y - 15)}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (8 y - 15)}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{2 \pm 2 \sqrt{8 y - 15}}{2 \cdot 8}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$z = \frac{2 \pm 2 \sqrt{8 y - 15}}{16}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{8 y - 15}}{16}$ .

$z = \frac{1 \pm \sqrt{8 y - 15}}{8}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = \frac{1 + \sqrt{8 y - 15}}{8}$

$z = \frac{1 - \sqrt{8 y - 15}}{8}$