Mathématiques de base Exemples

$3^{1 - a} - 3^{a} = 2$

Étape 1

Réécrivez $3^{1 - a}$ comme $3^{1} \cdot 3^{- a}$ .

$3 \cdot 3^{- a} - 3^{a} = 2$

Étape 2

Réécrivez $3^{- a}$ comme une élévation à une puissance.

$3 \cdot {(3^{a})}^{- 1} - 3^{a} = 2$

Étape 3

Remplacez $3^{a}$ par $u$ .

$3 \cdot u^{- 1} - u = 2$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \cdot \frac{1}{u} - u = 2$

Étape 4.2

Associez $3$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} - u = 2$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\frac{3}{u}$ et $- u$ .

$- u + \frac{3}{u} = 2$

Étape 6

Résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 6.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $- u + \frac{3}{u} = 2$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $- u + \frac{3}{u} = 2$ par $u$ .

$- u \cdot u + \frac{3}{u} u = 2 u$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Déplacez $u$ .

$- (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 2 u$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- u^{2} + 3 = 2 u$

Étape 6.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $2 u$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 3 - 2 u = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 3 - 2 u$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Déplacez $3$ .

$- u^{2} - 2 u + 3 = 0$

Étape 6.3.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) - 2 u + 3 = 0$

Étape 6.3.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u$ .

$- (u^{2}) - (2 u) + 3 = 0$

Étape 6.3.2.1.4

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 6.3.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - (2 u)$ .

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 6.3.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} + 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Étape 6.3.2.2

Factorisez.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $u^{2} + 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.3.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 6.3.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 1) (u + 3)) = 0$

Étape 6.3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 1) (u + 3) = 0$

Étape 6.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Étape 6.3.4

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.3.4.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 6.3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 6.3.5

Définissez $u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.3.5.1

Définissez $u + 3$ égal à $0$ .

$u + 3 = 0$

Étape 6.3.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 3$

Étape 6.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 1) (u + 3) = 0$ vraie.

$u = 1, - 3$

Étape 7

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = 3^{a}$ .

$1 = 3^{a}$

Étape 8

Résolvez $1 = 3^{a}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $3^{a} = 1$ .

$3^{a} = 1$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{a}) = \ln (1)$

Étape 8.3

Développez $\ln (3^{a})$ en déplaçant $a$ hors du logarithme.

$a \ln (3) = \ln (1)$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$a \ln (3) = 0$

Étape 8.5

Divisez chaque terme dans $a \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 8.5.1

Divisez chaque terme dans $a \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 8.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 8.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 8.5.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 8.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (3)$ .

$a = 0$

Étape 9

Remplacez $u$ par $- 3$ dans $u = 3^{a}$ .

$- 3 = 3^{a}$

Étape 10

Résolvez $- 3 = 3^{a}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $3^{a} = - 3$ .

$3^{a} = - 3$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{a}) = \ln (- 3)$

Étape 10.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 3)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 10.4

Il n’y a pas de solution pour $3^{a} = - 3$

Aucune solution

Étape 11

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$a = 0$