Mathématiques de base Exemples

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Étape 1

Simplifiez $\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $k^{2} + 3 k - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k$ et $b = 4$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k$ et $b = 1$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun de $k - 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $k - 1$ à partir de $(k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Étape 1.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Étape 1.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $k - 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $k - 4$ à partir de $(k + 4) (k - 4)$ .

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Élevez $k + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

Étape 1.5.2

Élevez $k + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

Étape 1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

Étape 1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$k + 1, 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$k + 1, 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$k + 1$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ par $k + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ par $k + 1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $k + 1$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

Étape 3.3.2

Multipliez $a$ par $1$ .

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $k$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $a k$ des deux côtés de l’équation.

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez ${(k + 4)}^{2}$ comme $(k + 4) (k + 4)$ .

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

Étape 4.1.2.2

Développez $(k + 4) (k + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

Étape 4.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

Étape 4.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.3.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Étape 4.1.2.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $k$ .

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Étape 4.1.2.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

Étape 4.1.2.3.2

Additionnez $4 k$ et $4 k$ .

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

Étape 4.2

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 8 - a$ et $c = 16 - a$ dans la formule quadratique et résolvez pour $k$ .

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Multipliez $- - a$ .

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Étape 4.5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez ${(8 - a)}^{2}$ comme $(8 - a) (8 - a)$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Développez $(8 - a) (8 - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.6.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.5

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.6.1.5.1

Déplacez $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.5.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.7

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.2

Soustrayez $8 a$ de $- 8 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.9

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.11

Soustrayez $64$ de $64$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.12

Additionnez $- 16 a$ et $0$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.13

Additionnez $- 16 a$ et $4 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.14

Factorisez $a$ à partir de $a^{2} - 12 a$ .

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Étape 4.5.1.14.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.14.2

Factorisez $a$ à partir de $- 12 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.14.3

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot a + a \cdot - 12$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$