Mathématiques de base Exemples

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $k^{\frac{4}{3}}$ comme ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $k^{\frac{2}{3}}$ par $u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ et dont la somme est $b = - 65$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Factorisez $- 65$ à partir de $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $- 65$ comme $- 1$ plus $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Étape 3

Définissez $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ égal à $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$ pour $k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 k^{\frac{2}{3}} = 1$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 k^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{3} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$8 k^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.4

Simplifiez

$8 k = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 k = \pm 1$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$8 k = 1$

Étape 3.2.4.2

Divisez chaque terme dans $8 k = 1$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $8 k = 1$ par $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Étape 3.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Étape 3.2.4.2.2.1.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Étape 3.2.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$8 k = - 1$

Étape 3.2.4.4

Divisez chaque terme dans $8 k = - 1$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $8 k = - 1$ par $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 3.2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 3.2.4.4.2.1.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Étape 3.2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$k = - \frac{1}{8}$

Étape 3.2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}$

Étape 4

Définissez $k^{\frac{2}{3}} - 16$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $k^{\frac{2}{3}} - 16$ égal à $0$ .

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$ pour $k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$k^{\frac{2}{3}} = 16$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$k^{1} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$k = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez $\pm 16^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$k = \pm {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$k = \pm 4^{3}$

Étape 4.2.3.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$k = \pm 64$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$k = 64$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$k = - 64$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$k = 64, - 64$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$ vraie.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Forme décimale :

$k = 0.125, - 0.125, 64, - 64$