Mathématiques de base Exemples

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{45}$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{a}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez $\sqrt{45}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{9 (5)}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Étape 1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \sqrt{5}$

Étape 1.2

Soustrayez $\sqrt{b}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{a} = 3 \sqrt{5} - \sqrt{b}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{a}}^{2} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a}$ comme $a^{\frac{1}{2}}$ .

${(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$a^{1} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$a = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$ comme $(3 \sqrt{5} - \sqrt{b}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$ .

$a = (3 \sqrt{5} - \sqrt{b}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(3 \sqrt{5} - \sqrt{b}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = 3 \sqrt{5} (3 \sqrt{5} - \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a = 3 \sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$a = 3 \sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $3 \sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$a = 9 \sqrt{5} \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$a = 9 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$a = 9 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a = 9 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$a = 9 {\sqrt{5}}^{2} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$a = 9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = 9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = 9 \cdot 5^{1} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$a = 9 \cdot 5 + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $9$ par $5$ .

$a = 45 + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $3 \sqrt{5} (- \sqrt{b})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{5} \sqrt{b} - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $- \sqrt{b} (3 \sqrt{5})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{b} \sqrt{5} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- \sqrt{b} (- \sqrt{b})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + 1 \sqrt{b} \sqrt{b}$

Étape 3.3.1.3.1.6.2

Multipliez $\sqrt{b}$ par $1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + \sqrt{b} \sqrt{b}$

Étape 3.3.1.3.1.6.3

Élevez $\sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {\sqrt{b}}^{1} \sqrt{b}$

Étape 3.3.1.3.1.6.4

Élevez $\sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt{b}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {\sqrt{b}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {\sqrt{b}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.7

Réécrivez ${\sqrt{b}}^{2}$ comme $b$ .

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Étape 3.3.1.3.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b}$ comme $b^{\frac{1}{2}}$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.7.5

Simplifiez

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $3 \sqrt{5 b}$ de $- 3 \sqrt{b \cdot 5}$ .

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Étape 3.3.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $5$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{5 \cdot b} - 3 \sqrt{5 b} + b$

Étape 3.3.1.3.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{5 b}$ de $- 3 \sqrt{5 \cdot b}$ .

$a = 45 - 6 \sqrt{5 \cdot b} + b$