Mathématiques de base Exemples

$3 \sqrt{2 d - 3} + 2 \sqrt{7 - d} = 11$

Étape 1

Soustrayez $2 \sqrt{7 - d}$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sqrt{2 d - 3} = 11 - 2 \sqrt{7 - d}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt{2 d - 3})}^{2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 d - 3}$ comme ${(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(3 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {({(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 {({(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 {(2 d - 3)}^{1} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$9 (2 d - 3) = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$9 (2 d) + 9 \cdot - 3 = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez.

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Étape 3.2.1.6.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 d + 9 \cdot - 3 = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$18 d - 27 = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$ comme $(11 - 2 \sqrt{7 - d}) (11 - 2 \sqrt{7 - d})$ .

$18 d - 27 = (11 - 2 \sqrt{7 - d}) (11 - 2 \sqrt{7 - d})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(11 - 2 \sqrt{7 - d}) (11 - 2 \sqrt{7 - d})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 d - 27 = 11 (11 - 2 \sqrt{7 - d}) - 2 \sqrt{7 - d} (11 - 2 \sqrt{7 - d})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$18 d - 27 = 11 \cdot 11 + 11 (- 2 \sqrt{7 - d}) - 2 \sqrt{7 - d} (11 - 2 \sqrt{7 - d})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$18 d - 27 = 11 \cdot 11 + 11 (- 2 \sqrt{7 - d}) - 2 \sqrt{7 - d} \cdot 11 - 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $11$ par $11$ .

$18 d - 27 = 121 + 11 (- 2 \sqrt{7 - d}) - 2 \sqrt{7 - d} \cdot 11 - 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $11$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 2 \sqrt{7 - d} \cdot 11 - 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $11$ par $- 2$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} - 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 \sqrt{7 - d} \sqrt{7 - d}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{7 - d}$ à la puissance $1$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 ({\sqrt{7 - d}}^{1} \sqrt{7 - d})$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{7 - d}$ à la puissance $1$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 ({\sqrt{7 - d}}^{1} {\sqrt{7 - d}}^{1})$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {\sqrt{7 - d}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {\sqrt{7 - d}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7 - d}}^{2}$ comme $7 - d$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 - d}$ comme ${(7 - d)}^{\frac{1}{2}}$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {({(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {(7 - d)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {(7 - d)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {(7 - d)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {(7 - d)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 (7 - d)$

Étape 3.3.1.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 \cdot 7 + 4 (- d)$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $4$ par $7$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 28 + 4 (- d)$

Étape 3.3.1.3.1.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 28 - 4 d$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $121$ et $28$ .

$18 d - 27 = 149 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} - 4 d$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $22 \sqrt{7 - d}$ de $- 22 \sqrt{7 - d}$ .

$18 d - 27 = 149 - 44 \sqrt{7 - d} - 4 d$

Étape 4

Résolvez $- 44 \sqrt{7 - d}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $149 - 44 \sqrt{7 - d} - 4 d = 18 d - 27$ .

$149 - 44 \sqrt{7 - d} - 4 d = 18 d - 27$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 44 \sqrt{7 - d}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $149$ des deux côtés de l’équation.

$- 44 \sqrt{7 - d} - 4 d = 18 d - 27 - 149$

Étape 4.2.2

Ajoutez $4 d$ aux deux côtés de l’équation.

$- 44 \sqrt{7 - d} = 18 d - 27 - 149 + 4 d$

Étape 4.2.3

Additionnez $18 d$ et $4 d$ .

$- 44 \sqrt{7 - d} = 22 d - 27 - 149$

Étape 4.2.4

Soustrayez $149$ de $- 27$ .

$- 44 \sqrt{7 - d} = 22 d - 176$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 44 \sqrt{7 - d})}^{2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 - d}$ comme ${(7 - d)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 44 {(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 44 {(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 44 {(7 - d)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 44)}^{2} {({(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 44$ à la puissance $2$ .

$1936 {({(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1936 {(7 - d)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$1936 {(7 - d)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1936 {(7 - d)}^{1} = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$1936 (7 - d) = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$1936 \cdot 7 + 1936 (- d) = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $1936$ par $7$ .

$13552 + 1936 (- d) = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $1936$ .

$13552 - 1936 d = {(22 d - 176)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(22 d - 176)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(22 d - 176)}^{2}$ comme $(22 d - 176) (22 d - 176)$ .

$13552 - 1936 d = (22 d - 176) (22 d - 176)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(22 d - 176) (22 d - 176)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$13552 - 1936 d = 22 d (22 d - 176) - 176 (22 d - 176)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$13552 - 1936 d = 22 d (22 d) + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d - 176)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$13552 - 1936 d = 22 d (22 d) + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$13552 - 1936 d = 22 \cdot 22 d \cdot d + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $d$ par $d$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $d$ .

$13552 - 1936 d = 22 \cdot 22 (d \cdot d) + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $d$ par $d$ .

$13552 - 1936 d = 22 \cdot 22 d^{2} + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $22$ par $22$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 176$ par $22$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} - 3872 d - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $22$ par $- 176$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} - 3872 d - 3872 d - 176 \cdot - 176$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 176$ par $- 176$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} - 3872 d - 3872 d + 30976$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $3872 d$ de $- 3872 d$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} - 7744 d + 30976$

Étape 7

Résolvez $d$ .

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Étape 7.1

Comme $d$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$484 d^{2} - 7744 d + 30976 = 13552 - 1936 d$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $d$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1936 d$ aux deux côtés de l’équation.

$484 d^{2} - 7744 d + 30976 + 1936 d = 13552$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 7744 d$ et $1936 d$ .

$484 d^{2} - 5808 d + 30976 = 13552$

Étape 7.3

Soustrayez $13552$ des deux côtés de l’équation.

$484 d^{2} - 5808 d + 30976 - 13552 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $13552$ de $30976$ .

$484 d^{2} - 5808 d + 17424 = 0$

Étape 7.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.5.1

Factorisez $484$ à partir de $484 d^{2} - 5808 d + 17424$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $484$ à partir de $484 d^{2}$ .

$484 (d^{2}) - 5808 d + 17424 = 0$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $484$ à partir de $- 5808 d$ .

$484 (d^{2}) + 484 (- 12 d) + 17424 = 0$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $484$ à partir de $17424$ .

$484 d^{2} + 484 (- 12 d) + 484 \cdot 36 = 0$

Étape 7.5.1.4

Factorisez $484$ à partir de $484 d^{2} + 484 (- 12 d)$ .

$484 (d^{2} - 12 d) + 484 \cdot 36 = 0$

Étape 7.5.1.5

Factorisez $484$ à partir de $484 (d^{2} - 12 d) + 484 \cdot 36$ .

$484 (d^{2} - 12 d + 36) = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.5.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$484 (d^{2} - 12 d + 6^{2}) = 0$

Étape 7.5.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 d = 2 \cdot d \cdot 6$

Étape 7.5.2.3

Réécrivez le polynôme.

$484 (d^{2} - 2 \cdot d \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Étape 7.5.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = d$ et $b = 6$ .

$484 {(d - 6)}^{2} = 0$

Étape 7.6

Divisez chaque terme dans $484 {(d - 6)}^{2} = 0$ par $484$ et simplifiez.

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Étape 7.6.1

Divisez chaque terme dans $484 {(d - 6)}^{2} = 0$ par $484$ .

$\frac{484 {(d - 6)}^{2}}{484} = \frac{0}{484}$

Étape 7.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.6.2.1

Annulez le facteur commun de $484$ .

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Étape 7.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{484 {(d - 6)}^{2}}{484} = \frac{0}{484}$

Étape 7.6.2.1.2

Divisez ${(d - 6)}^{2}$ par $1$ .

${(d - 6)}^{2} = \frac{0}{484}$

Étape 7.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.6.3.1

Divisez $0$ par $484$ .

${(d - 6)}^{2} = 0$

Étape 7.7

Définissez le $d - 6$ égal à $0$ .

$d - 6 = 0$

Étape 7.8

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$d = 6$