Mathématiques de base Exemples

${(9 - 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$9^{3} + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$729 + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$729 + 3 \cdot 81 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $81$ .

$729 + 243 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 4$ par $243$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.5

Multipliez $3$ par $9$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.6

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sqrt{5}$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 ({(- 4)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.7

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.8

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 1.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{1}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.9

Multipliez $27 (16 \cdot 5)$ .

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $16$ par $5$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 \cdot 80 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.9.2

Multipliez $27$ par $80$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.10

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sqrt{5}$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4)}^{3} {\sqrt{5}}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.11

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 {\sqrt{5}}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.12

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{3}} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.13

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{125} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.14

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.2.14.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{25 (5)} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.14.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{2} \cdot 5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 (5 \sqrt{5}) + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.2.16

Multipliez $5$ par $- 64$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 320 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.3

Additionnez $729$ et $2160$ .

$2889 - 972 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.4

Soustrayez $320 \sqrt{5}$ de $- 972 \sqrt{5}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Étape 1.5

Réécrivez la division comme une fraction.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{{(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{9^{3} + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 3 \cdot 81 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.3

Multipliez $3$ par $81$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 243 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.4

Multipliez $- 4$ par $243$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.5

Multipliez $3$ par $9$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.6

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sqrt{5}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 ({(- 4)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.7

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.8

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 1.7.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{1}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.8.5

Évaluez l’exposant.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.9

Multipliez $27 (16 \cdot 5)$ .

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Étape 1.7.9.1

Multipliez $16$ par $5$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 \cdot 80 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.9.2

Multipliez $27$ par $80$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Étape 1.7.10

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sqrt{5}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}$

Étape 1.7.11

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 {\sqrt{5}}^{3}}$

Étape 1.7.12

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{3}}}$

Étape 1.7.13

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{125}}$

Étape 1.7.14

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.7.14.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{25 (5)}}$

Étape 1.7.14.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}$

Étape 1.7.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 (5 \sqrt{5})}$

Étape 1.7.16

Multipliez $5$ par $- 64$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 320 \sqrt{5}}$

Étape 1.8

Additionnez $729$ et $2160$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 972 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5}}$

Étape 1.9

Soustrayez $320 \sqrt{5}$ de $- 972 \sqrt{5}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$

Étape 1.10

Multipliez $\frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$ par $\frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}} \cdot \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$

Étape 1.11

Multipliez $\frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$ par $\frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{(2889 - 1292 \sqrt{5}) (2889 + 1292 \sqrt{5})}$

Étape 1.12

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{8346321 + 3732588 \sqrt{5} - 3732588 \sqrt{5} - 1669264 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 1.13

Simplifiez

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{1}$

Étape 1.14

Divisez $2889 + 1292 \sqrt{5}$ par $1$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + 2889 + 1292 \sqrt{5}$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Additionnez $2889$ et $2889$ .

$5778 - 1292 \sqrt{5} + 1292 \sqrt{5}$

Étape 2.2

Additionnez $- 1292 \sqrt{5}$ et $1292 \sqrt{5}$ .

$5778 + 0$

Étape 2.3

Additionnez $5778$ et $0$ .

$5778$