Mathématiques de base Exemples

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

Étape 1

Soustrayez $2 \cos (2 θ)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez l’identité d’angle triple pour transformer $\cos (3 x)$ en $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $3 \cos (θ)$ de $\cos (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Étape 3

Factorisez $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \cos^{3} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cos^{2} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Étape 3.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Étape 3.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

Étape 3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

Étape 3.4

Factorisez.

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Étape 3.4.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $\cos (θ) - 1$ .

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

Étape 3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\cos (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (θ) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (θ) = 1$

Étape 5.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 5.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - 0$

Étape 5.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $2 \cos^{2} (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 \cos^{2} (θ) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos^{2} (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos^{2} (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (θ)$ par $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.7

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 6.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.7.3

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.7.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.2.7.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.7.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.7.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 6.2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Étape 6.2.7.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 6.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.7.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.8

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 6.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 6.2.8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 6.2.8.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 6.2.8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 6.2.8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 6.2.8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 6.2.8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.8.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 6.2.8.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.2.8.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 6.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.10

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ vraie.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $2 π n$ et $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$