Mathématiques de base Exemples

$16$ , $17$ , $18$ , $19$ , $20$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{16 + 17 + 18 + 19 + 20}{5}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $16$ et $17$ .

$\overline{x} = \frac{33 + 18 + 19 + 20}{5}$

Étape 1.2.2

Additionnez $33$ et $18$ .

$\overline{x} = \frac{51 + 19 + 20}{5}$

Étape 1.2.3

Additionnez $51$ et $19$ .

$\overline{x} = \frac{70 + 20}{5}$

Étape 1.2.4

Additionnez $70$ et $20$ .

$\overline{x} = \frac{90}{5}$

Étape 1.3

Divisez $90$ par $5$ .

$\overline{x} = 18$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $16$ en une valeur décimale.

$16$

Étape 2.2

Convertissez $17$ en une valeur décimale.

$17$

Étape 2.3

Convertissez $18$ en une valeur décimale.

$18$

Étape 2.4

Convertissez $19$ en une valeur décimale.

$19$

Étape 2.5

Convertissez $20$ en une valeur décimale.

$20$

Étape 2.6

Les valeurs simplifiées sont $16, 17, 18, 19, 20$ .

$16, 17, 18, 19, 20$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(16 - 18)}^{2} + {(17 - 18)}^{2} + {(18 - 18)}^{2} + {(19 - 18)}^{2} + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $18$ de $16$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 2)}^{2} + {(17 - 18)}^{2} + {(18 - 18)}^{2} + {(19 - 18)}^{2} + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{4 + {(17 - 18)}^{2} + {(18 - 18)}^{2} + {(19 - 18)}^{2} + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $18$ de $17$ .

$s = \sqrt{\frac{4 + {(- 1)}^{2} + {(18 - 18)}^{2} + {(19 - 18)}^{2} + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{4 + 1 + {(18 - 18)}^{2} + {(19 - 18)}^{2} + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $18$ de $18$ .

$s = \sqrt{\frac{4 + 1 + 0^{2} + {(19 - 18)}^{2} + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$s = \sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + {(19 - 18)}^{2} + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $18$ de $19$ .

$s = \sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1^{2} + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$s = \sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1 + {(20 - 18)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.9

Soustrayez $18$ de $20$ .

$s = \sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 2^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5 - 1}}$

Étape 5.1.11

Additionnez $4$ et $1$ .

$s = \sqrt{\frac{5 + 0 + 1 + 4}{5 - 1}}$

Étape 5.1.12

Additionnez $5$ et $0$ .

$s = \sqrt{\frac{5 + 1 + 4}{5 - 1}}$

Étape 5.1.13

Additionnez $5$ et $1$ .

$s = \sqrt{\frac{6 + 4}{5 - 1}}$

Étape 5.1.14

Additionnez $6$ et $4$ .

$s = \sqrt{\frac{10}{5 - 1}}$

Étape 5.1.15

Soustrayez $1$ de $5$ .

$s = \sqrt{\frac{10}{4}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$s = \sqrt{\frac{2 (5)}{4}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \sqrt{\frac{5}{2}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Étape 5.6.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$s = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$1.6$