Mathématiques de base Exemples

$73$ , $79$ , $79$ , $79$ , $80$ , $81$ , $83$ , $85$ , $86$ , $87$ , $90$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{73 + 79 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $73$ et $79$ .

$\overline{x} = \frac{152 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2.2

Additionnez $152$ et $79$ .

$\overline{x} = \frac{231 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2.3

Additionnez $231$ et $79$ .

$\overline{x} = \frac{310 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2.4

Additionnez $310$ et $80$ .

$\overline{x} = \frac{390 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2.5

Additionnez $390$ et $81$ .

$\overline{x} = \frac{471 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2.6

Additionnez $471$ et $83$ .

$\overline{x} = \frac{554 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2.7

Additionnez $554$ et $85$ .

$\overline{x} = \frac{639 + 86 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2.8

Additionnez $639$ et $86$ .

$\overline{x} = \frac{725 + 87 + 90}{11}$

Étape 1.2.9

Additionnez $725$ et $87$ .

$\overline{x} = \frac{812 + 90}{11}$

Étape 1.2.10

Additionnez $812$ et $90$ .

$\overline{x} = \frac{902}{11}$

Étape 1.3

Divisez $902$ par $11$ .

$\overline{x} = 82$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $73$ en une valeur décimale.

$73$

Étape 2.2

Convertissez $79$ en une valeur décimale.

$79$

Étape 2.3

Convertissez $80$ en une valeur décimale.

$80$

Étape 2.4

Convertissez $81$ en une valeur décimale.

$81$

Étape 2.5

Convertissez $83$ en une valeur décimale.

$83$

Étape 2.6

Convertissez $85$ en une valeur décimale.

$85$

Étape 2.7

Convertissez $86$ en une valeur décimale.

$86$

Étape 2.8

Convertissez $87$ en une valeur décimale.

$87$

Étape 2.9

Convertissez $90$ en une valeur décimale.

$90$

Étape 2.10

Les valeurs simplifiées sont $73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$ .

$73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(73 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $82$ de $73$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 9)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $82$ de $79$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $82$ de $79$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.6

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $82$ de $79$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + {(- 3)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.8

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.9

Soustrayez $82$ de $80$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.10

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.11

Soustrayez $82$ de $81$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + {(- 1)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.13

Soustrayez $82$ de $83$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.15

Soustrayez $82$ de $85$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 3^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.16

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.17

Soustrayez $82$ de $86$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 4^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.18

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.19

Soustrayez $82$ de $87$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 5^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.20

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.21

Soustrayez $82$ de $90$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 8^{2}}{11 - 1}}$

Étape 5.1.22

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.23

Additionnez $81$ et $9$ .

$s = \sqrt{\frac{90 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.24

Additionnez $90$ et $9$ .

$s = \sqrt{\frac{99 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.25

Additionnez $99$ et $9$ .

$s = \sqrt{\frac{108 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.26

Additionnez $108$ et $4$ .

$s = \sqrt{\frac{112 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.27

Additionnez $112$ et $1$ .

$s = \sqrt{\frac{113 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.28

Additionnez $113$ et $1$ .

$s = \sqrt{\frac{114 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.29

Additionnez $114$ et $9$ .

$s = \sqrt{\frac{123 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.30

Additionnez $123$ et $16$ .

$s = \sqrt{\frac{139 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.31

Additionnez $139$ et $25$ .

$s = \sqrt{\frac{164 + 64}{11 - 1}}$

Étape 5.1.32

Additionnez $164$ et $64$ .

$s = \sqrt{\frac{228}{11 - 1}}$

Étape 5.1.33

Soustrayez $1$ de $11$ .

$s = \sqrt{\frac{228}{10}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $228$ et $10$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $228$ .

$s = \sqrt{\frac{2 (114)}{10}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 114}{2 \cdot 5}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 114}{2 \cdot 5}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \sqrt{\frac{114}{5}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{114}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.5.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.5.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 5.5.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{\sqrt{114 \cdot 5}}{5}$

Étape 5.6.2

Multipliez $114$ par $5$ .

$s = \frac{\sqrt{570}}{5}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$4.8$