Mathématiques de base Exemples

$\frac{1}{1 - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{1 - \sqrt{2}}$ par $\frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{1 - \sqrt{2}}$ par $\frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{1 + \sqrt{2}}{- 1} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.5

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 + \sqrt{2}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (1 + \sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.6

Réécrivez $- 1 \cdot (1 + \sqrt{2})$ comme $- (1 + \sqrt{2})$ .

$- (1 + \sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.9

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ .

$- 1 - \sqrt{2} - (\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}) + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.10

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ .

$- 1 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} + \sqrt{3})} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- 1 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.12

Simplifiez

$- 1 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{- 1} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.13

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 - \sqrt{2} - (- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3})) + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.14

Réécrivez $- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ comme $- (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ .

$- 1 - \sqrt{2} - - (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.15

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 - \sqrt{2} - (- \sqrt{2} - \sqrt{3}) + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.16

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 - \sqrt{2} - - \sqrt{2} - - \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.17

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 1.17.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} - - \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.17.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - - \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.18

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 1.18.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.18.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.19

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3} - 2}$ par $\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2}$ .

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2}$

Étape 1.20

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3} - 2}$ par $\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2}$ .

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} + 2)}$

Étape 1.21

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} + 2}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \cdot 2 - 2 \sqrt{3} - 4}$

Étape 1.22

Simplifiez

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} + 2}{- 1}$

Étape 1.23

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{3} + 2}{- 1}$ .

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 \cdot (\sqrt{3} + 2)$

Étape 1.24

Réécrivez $- 1 \cdot (\sqrt{3} + 2)$ comme $- (\sqrt{3} + 2)$ .

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 2)$

Étape 1.25

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 \cdot 2$

Étape 1.26

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- 3 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Étape 2.2

Additionnez $- \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$- 3 + 0 + \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Étape 2.3

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$- 3 + \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Étape 2.4

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$- 3 + 0$

Étape 2.5

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$- 3$