Mathématiques de base Exemples

$2 z^{3} - 16 z - 16$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{3} - 16 z - 16$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{3}$ .

$2 (z^{3}) - 16 z - 16$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 16 z$ .

$2 (z^{3}) + 2 (- 8 z) - 16$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$2 z^{3} + 2 (- 8 z) + 2 \cdot - 8$

Étape 1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{3} + 2 (- 8 z)$ .

$2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$

Étape 1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$ .

$2 (z^{3} - 8 z - 8)$

Étape 2

Factorisez.

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Étape 2.1

Factorisez $z^{3} - 8 z - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 2.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} - 8 \cdot - 2 - 8$

Étape 2.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 8 \cdot - 2 - 8$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$- 8 + 16 - 8$

Étape 2.1.3.4

Additionnez $- 8$ et $16$ .

$8 - 8$

Étape 2.1.3.5

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $z + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{z^{3} - 8 z - 8}{z + 2}$

Étape 2.1.5

Divisez $z^{3} - 8 z - 8$ par $z + 2$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$z$

$2$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$8 z$

$8$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $z^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

					$z^{2}$
	$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			+	$z^{3}$	+	$2 z^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $z^{3} + 2 z^{2}$

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 z^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					-	$2 z^{2}$	-	$4 z$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 z^{2} - 4 z$

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 z$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							-	$4 z$	-	$8$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 z - 8$

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$z^{2} - 2 z - 4$

Étape 2.1.6

Écrivez $z^{3} - 8 z - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((z + 2) (z^{2} - 2 z - 4))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (z + 2) (z^{2} - 2 z - 4)$