Mathématiques de base Exemples

$- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$

Étape 1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$ .

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Étape 1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 {(5 b + 3)}^{3}$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 6 (5 b + 3) + 9$

Étape 1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $- 6 (5 b + 3)$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) + 9$

Étape 1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $9$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Étape 1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3))$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Étape 1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

$- 3 ({(5 b)}^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $5 b$ .

$- 3 (5^{3} b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $5 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (5^{2} b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (25 b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.5

Multipliez $25$ par $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 75 b^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $75$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $3^{2}$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.7.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 3.7.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2 + 1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{3} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 27 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.9

Multipliez $5$ par $27$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 3.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b + 3) - 3)$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b) + 2 \cdot 3 - 3)$

Étape 5

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 2 \cdot 3 - 3)$

Étape 6

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 6 - 3)$

Étape 7

Additionnez $135 b$ et $10 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 27 + 6 - 3)$

Étape 8

Additionnez $27$ et $6$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 33 - 3)$

Étape 9

Soustrayez $3$ de $33$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Réécrivez $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ en forme factorisée.

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Étape 10.1.1

Factorisez $5$ à partir de $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ .

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Étape 10.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $125 b^{3}$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Étape 10.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $225 b^{2}$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 145 b + 30)$

Étape 10.1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $145 b$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 30)$

Étape 10.1.1.4

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Étape 10.1.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2})$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Étape 10.1.1.6

Factorisez $5$ à partir de $5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b)$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6))$

Étape 10.1.1.7

Factorisez $5$ à partir de $5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6)$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6))$

Étape 10.1.2

Factorisez.

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 10.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Étape 10.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 6, \pm 0.24, \pm 1.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 3, \pm 0.12, \pm 0.6$

Étape 10.1.2.1.3

Remplacez $- 0.4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.4$ est une racine du polynôme.

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Étape 10.1.2.1.3.1

Remplacez $- 0.4$ dans le polynôme.

$25 {(- 0.4)}^{3} + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Étape 10.1.2.1.3.2

Élevez $- 0.4$ à la puissance $3$ .

$25 \cdot - 0.064 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Étape 10.1.2.1.3.3

Multipliez $25$ par $- 0.064$ .

$- 1.6 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Étape 10.1.2.1.3.4

Élevez $- 0.4$ à la puissance $2$ .

$- 1.6 + 45 \cdot 0.16 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Étape 10.1.2.1.3.5

Multipliez $45$ par $0.16$ .

$- 1.6 + 7.2 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Étape 10.1.2.1.3.6

Additionnez $- 1.6$ et $7.2$ .

$5.6 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Étape 10.1.2.1.3.7

Multipliez $29$ par $- 0.4$ .

$5.6 - 11.6 + 6$

Étape 10.1.2.1.3.8

Soustrayez $11.6$ de $5.6$ .

$- 6 + 6$

Étape 10.1.2.1.3.9

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 10.1.2.1.4

Comme $- 0.4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $5 b + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6}{5 b + 2}$

Étape 10.1.2.1.5

Divisez $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ par $5 b + 2$ .

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Étape 10.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5 b$

$2$

$25 b^{3}$

$45 b^{2}$

$29 b$

$6$

Étape 10.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $25 b^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 b$ .

					$5 b^{2}$
	$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$

Étape 10.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			+	$25 b^{3}$	+	$10 b^{2}$

Étape 10.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $25 b^{3} + 10 b^{2}$

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$

Étape 10.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$

Étape 10.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Étape 10.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $35 b^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Étape 10.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					+	$35 b^{2}$	+	$14 b$

Étape 10.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $35 b^{2} + 14 b$

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$

Étape 10.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$

Étape 10.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Étape 10.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $15 b$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Étape 10.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							+	$15 b$	+	$6$

Étape 10.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $15 b + 6$

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$

Étape 10.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$
										$0$

Étape 10.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$5 b^{2} + 7 b + 3$

Étape 10.1.2.1.6

Écrivez $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$- 3 (5 ((5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)))$

Étape 10.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 \cdot 5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$

Étape 11

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$- 15 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$