Mathématiques de base Exemples

$3 + \frac{\sqrt{18}}{1 + \sqrt{8}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$3 + \frac{\sqrt{9 (2)}}{1 + \sqrt{8}}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3 + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{1 + \sqrt{8}}$

Étape 1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{8}}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{4 (2)}}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$ .

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$ .

$3 + \frac{3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{(1 + 2 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}$

Étape 1.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$3 + \frac{3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{1 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

$3 + \frac{3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Étape 1.7

Regroupez $1 - 2 \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$3 + \frac{3 ((1 - 2 \sqrt{2}) \sqrt{2})}{- 7}$

Étape 1.8

Appliquez la propriété distributive.

$3 + \frac{3 (1 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2})}{- 7}$

Étape 1.9

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2})}{- 7}$

Étape 1.10

Multipliez $- 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 1.10.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}))}{- 7}$

Étape 1.10.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}))}{- 7}$

Étape 1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1})}{- 7}$

Étape 1.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{2})}{- 7}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.11.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.11.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 7}$

Étape 1.11.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 7}$

Étape 1.11.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}{- 7}$

Étape 1.11.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.11.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}{- 7}$

Étape 1.11.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{1})}{- 7}$

Étape 1.11.1.5

Évaluez l’exposant.

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2)}{- 7}$

Étape 1.11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 4)}{- 7}$

Étape 1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 - \frac{3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Étape 2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Associez $3$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 7 - 3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{21 - 3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{21 - 3 \sqrt{2} - 3 \cdot - 4}{7}$

Étape 4.3

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$\frac{21 - 3 \sqrt{2} + 12}{7}$

Étape 4.4

Additionnez $21$ et $12$ .

$\frac{33 - 3 \sqrt{2}}{7}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{33 - 3 \sqrt{2}}{7}$

Forme décimale :

$4.10819418 \dots$