Mathématiques de base Exemples

$t^{2} + \frac{3}{t^{4} - 16} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{{(t^{2})}^{2} - 16} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{{(t^{2})}^{2} - 4^{2}} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t^{2}$ et $b = 4$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t^{2} - 4)} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t^{2} - 2^{2})} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 2$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{4^{2} - t^{4}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{4^{2} - {(t^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = t^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (4 - t^{2})}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2^{2} - t^{2})}$

Étape 1.2.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = t$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 2

Pour écrire $t^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$ .

$t^{2} \cdot \frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $t^{2}$ et $\frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$ .

$\frac{t^{2} ((t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2))}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t^{2} ((t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(t^{2} + 4) (t + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} ((t^{2} (t + 2) + 4 (t + 2)) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} ((t^{2} t + t^{2} \cdot 2 + 4 (t + 2)) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} ((t^{2} t + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{2} ((t^{2} t^{1} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{2} ((t^{2 + 1} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + 2 \cdot t^{2} + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + 2 t^{2} + 4 t + 8) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.3

Développez $(t^{3} + 2 t^{2} + 4 t + 8) (t - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{t^{2} (t^{3} t + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Multipliez $t^{3}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $t^{3}$ par $t$ .

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Étape 4.4.1.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{3} t^{1} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{2} (t^{3 + 1} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $t^{3}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 \cdot t^{3} + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.3

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.3.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 (t \cdot t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.3.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 4.4.3.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 (t^{1} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{1 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.5

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.5.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.5.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.4.7

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.5

Associez les termes opposés dans $t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16$ .

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Étape 4.5.1

Additionnez $- 2 t^{3}$ et $2 t^{3}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.5.2

Additionnez $t^{4}$ et $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.5.3

Additionnez $- 4 t^{2}$ et $4 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.5.4

Additionnez $t^{4}$ et $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.5.5

Additionnez $- 8 t$ et $8 t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.5.6

Additionnez $t^{4}$ et $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} t^{4} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.7

Multipliez $t^{2}$ par $t^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{2 + 4} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.7.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{t^{6} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 4.8

Déplacez $- 16$ à gauche de $t^{2}$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (2 - t)}$

Étape 5.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2) - t)}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2) - (t))}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (t)$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2 + t))}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2 + t))}$ au numérateur.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{- 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 2 + t)}$

Étape 5.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{- 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3 - 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3 - 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 6.2

Soustrayez $7$ de $3$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} - 4}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$