Mathématiques de base Exemples

$\frac{a}{a + b} - \frac{b}{b - a}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{a}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{b}{b - a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + b) (b - a)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{a}{a + b}$ par $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{b}{b - a}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(b - a) (a + b)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(b - a) (a + b)$ .

$\frac{a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (b - a)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a b + a (- a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a b - a \cdot a - b (a + b)}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.3

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a b - (a \cdot a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.3.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a b - a^{2} - b (a + b)}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a b - a^{2} - b a - b \cdot b}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.5

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a b - a^{2} - b a - (b \cdot b)}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.5.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a b - a^{2} - b a - b^{2}}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.6

Soustrayez $b a$ de $a b$ .

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Étape 5.6.1

Déplacez $b$ .

$\frac{- a^{2} + a b - a b - b^{2}}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.6.2

Soustrayez $a b$ de $a b$ .

$\frac{- a^{2} + 0 - b^{2}}{(a + b) (b - a)}$

Étape 5.7

Additionnez $- a^{2}$ et $0$ .

$\frac{- a^{2} - b^{2}}{(a + b) (b - a)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) - b^{2}}{(a + b) (b - a)}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- b^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) - (b^{2})}{(a + b) (b - a)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a^{2}) - (b^{2})$ .

$\frac{- (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (b - a)}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $- (a^{2} + b^{2})$ comme $- 1 (a^{2} + b^{2})$ .

$\frac{- 1 (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (b - a)}$

Étape 6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a^{2} + b^{2}}{(a + b) (b - a)}$