Mathématiques de base Exemples

$\frac{7 z y}{z^{2} - y^{2}} + \frac{3 z - y}{z + y}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = y$ .

$\frac{7 z y}{(z + y) (z - y)} + \frac{3 z - y}{z + y}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 z - y}{z + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z - y}{z - y}$ .

$\frac{7 z y}{(z + y) (z - y)} + \frac{3 z - y}{z + y} \cdot \frac{z - y}{z - y}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3 z - y}{z + y}$ par $\frac{z - y}{z - y}$ .

$\frac{7 z y}{(z + y) (z - y)} + \frac{(3 z - y) (z - y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 z y + (3 z - y) (z - y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(3 z - y) (z - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 z y + 3 z (z - y) - y (z - y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 z y + 3 z \cdot z + 3 z (- y) - y (z - y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 z y + 3 z \cdot z + 3 z (- y) - y z - y (- y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1.1

Déplacez $z$ .

$\frac{7 z y + 3 (z \cdot z) + 3 z (- y) - y z - y (- y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{7 z y + 3 z^{2} + 3 z (- y) - y z - y (- y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 z y + 3 z^{2} + 3 \cdot - 1 z y - y z - y (- y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{7 z y + 3 z^{2} - 3 z y - y z - y (- y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 z y + 3 z^{2} - 3 z y - y z - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{7 z y + 3 z^{2} - 3 z y - y z - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{7 z y + 3 z^{2} - 3 z y - y z - 1 \cdot - 1 y^{2}}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{7 z y + 3 z^{2} - 3 z y - y z + 1 y^{2}}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{7 z y + 3 z^{2} - 3 z y - y z + y^{2}}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $y z$ de $- 3 z y$ .

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $z$ .

$\frac{7 z y + 3 z^{2} - 3 y z - y z + y^{2}}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $y z$ de $- 3 y z$ .

$\frac{7 z y + 3 z^{2} - 4 y z + y^{2}}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.3

Soustrayez $4 y z$ de $7 z y$ .

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Étape 4.3.1

Déplacez $z$ .

$\frac{3 z^{2} + 7 y z - 4 y z + y^{2}}{(z + y) (z - y)}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4 y z$ de $7 y z$ .

$\frac{3 z^{2} + 3 y z + y^{2}}{(z + y) (z - y)}$