Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2} + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2}$ par $\frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2} + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2}$ par $\frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2)} + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \cdot - 2 + 2 \sqrt{3} - 4} + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2)}{- 1} + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.5

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2)}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2)) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.6

Réécrivez $- 1 \cdot ((\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2))$ comme $- ((\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2))$ .

$- ((\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2)) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.7

Développez $(\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{3} (\sqrt{3} - 2) - 2 (\sqrt{3} - 2)) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{3} - 2)) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 2) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 2) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- (\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 2) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- (\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 2) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- (3 + \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 2) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8.1.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$- (3 - 2 \cdot \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 2) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- (3 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 4) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$- (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.8.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$- (7 - 4 \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.9

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.10

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 - (- 4 \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.11

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$

Étape 1.12

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$ par $\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2}$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2}$

Étape 1.13

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$ par $\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2}$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} + \frac{(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} + 2)}$

Étape 1.14

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- 7 + 4 \sqrt{3} + \frac{(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \cdot 2 - 2 \sqrt{3} - 4}$

Étape 1.15

Simplifiez

$- 7 + 4 \sqrt{3} + \frac{(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2)}{- 1}$

Étape 1.16

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2)}{- 1}$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - 1 \cdot ((\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2))$

Étape 1.17

Réécrivez $- 1 \cdot ((\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2))$ comme $- ((\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2))$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - ((\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2))$

Étape 1.18

Développez $(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (\sqrt{3} (\sqrt{3} + 2) + 2 (\sqrt{3} + 2))$

Étape 1.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + 2 (\sqrt{3} + 2))$

Étape 1.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2)$

Étape 1.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.19.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2)$

Étape 1.19.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2)$

Étape 1.19.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2)$

Étape 1.19.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (3 + \sqrt{3} \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2)$

Étape 1.19.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (3 + 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2)$

Étape 1.19.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (3 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 4)$

Étape 1.19.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 1.19.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - (7 + 4 \sqrt{3})$

Étape 1.20

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 + 4 \sqrt{3} - 1 \cdot 7 - (4 \sqrt{3})$

Étape 1.21

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - 7 - (4 \sqrt{3})$

Étape 1.22

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 7 + 4 \sqrt{3} - 7 - 4 \sqrt{3}$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Soustrayez $7$ de $- 7$ .

$- 14 + 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}$

Étape 2.2

Soustrayez $4 \sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$- 14 + 0$

Étape 2.3

Additionnez $- 14$ et $0$ .

$- 14$