Mathématiques de base Exemples

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{64} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{64} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 8$

$b = \sqrt{2}$

$k = 8$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 8)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{64 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{64 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{64 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{64 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{64 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{64 - 2^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{64 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{64 - 2}$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $2$ de $64$ .

$\sqrt{62}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 8 + 8)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(0, 16)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 8 - (8))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(0, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 16)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 16)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 8 + \sqrt{62})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 8 - (\sqrt{62}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(0, 8 - \sqrt{62})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(0, 8 + \sqrt{62})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 8 - \sqrt{62})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 8 + \sqrt{62})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 8 - \sqrt{62})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{8}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - {\sqrt{2}}^{2}}}{8}$

Étape 8.3.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{64 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{8}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{64 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{8}$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 2^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{64 - 2^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{64 - 2^{1}}}{8}$

Étape 8.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 2}}{8}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 2}}{8}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $2$ de $64$ .

$\frac{\sqrt{62}}{8}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 16)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 8 + \sqrt{62})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 8 - \sqrt{62})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{62}}{8}$

Étape 10