Mathématiques de base Exemples

$\frac{5 z^{- 1} + 3}{25 z^{- 2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 \frac{1}{z} + 3}{25 z^{- 2} - 9}$

Étape 1.2

Associez $5$ et $\frac{1}{z}$ .

$\frac{\frac{5}{z} + 3}{25 z^{- 2} - 9}$

Étape 1.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{5}{z} + \frac{3 z}{z}}{25 z^{- 2} - 9}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{25 z^{- 2} - 9}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $25 z^{- 2}$ comme ${(5 z^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{{(5 z^{- 1})}^{2} - 9}$

Étape 2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{{(5 z^{- 1})}^{2} - 3^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5 z^{- 1}$ et $b = 3$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{(5 z^{- 1} + 3) (5 z^{- 1} - 3)}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{(5 \frac{1}{z} + 3) (5 z^{- 1} - 3)}$

Étape 2.4.2

Associez $5$ et $\frac{1}{z}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{(\frac{5}{z} + 3) (5 z^{- 1} - 3)}$

Étape 2.4.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{(\frac{5}{z} + \frac{3 z}{z}) (5 z^{- 1} - 3)}$

Étape 2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{5 + 3 z}{z} (5 z^{- 1} - 3)}$

Étape 2.4.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{5 + 3 z}{z} (5 \frac{1}{z} - 3)}$

Étape 2.4.6

Associez $5$ et $\frac{1}{z}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{5 + 3 z}{z} (\frac{5}{z} - 3)}$

Étape 2.4.7

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{5 + 3 z}{z} (\frac{5}{z} - 3 \cdot \frac{z}{z})}$

Étape 2.4.8

Associez $- 3$ et $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{5 + 3 z}{z} (\frac{5}{z} + \frac{- 3 z}{z})}$

Étape 2.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{5 + 3 z}{z} \cdot \frac{5 - 3 z}{z}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{5 + 3 z}{z}$ par $\frac{5 - 3 z}{z}$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{(5 + 3 z) (5 - 3 z)}{z \cdot z}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{(5 + 3 z) (5 - 3 z)}{z^{1} z}}$

Étape 4.2

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{(5 + 3 z) (5 - 3 z)}{z^{1} z^{1}}}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{(5 + 3 z) (5 - 3 z)}{z^{1 + 1}}}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{5 + 3 z}{z}}{\frac{(5 + 3 z) (5 - 3 z)}{z^{2}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5 + 3 z}{z} \cdot \frac{z^{2}}{(5 + 3 z) (5 - 3 z)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $5 + 3 z$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 + 3 z}{z} \cdot \frac{z^{2}}{(5 + 3 z) (5 - 3 z)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{z} \cdot \frac{z^{2}}{5 - 3 z}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 7.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2}$ .

$\frac{1}{z} \cdot \frac{z \cdot z}{5 - 3 z}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{z} \cdot \frac{z \cdot z}{5 - 3 z}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{z}{5 - 3 z}$