Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ par $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ par $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{3} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{3} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} {(\sqrt{3} + 1)}^{1}}{2}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1 + 1}}{2}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{2}$

Étape 4

Simplifiez ${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 4.2

Développez $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.3.1.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Étape 4.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $2$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Étape 5.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$3.73205080 \dots$