Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{45}}{3 - \sqrt{20}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{9 (5)}}{3 - \sqrt{20}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{3 - \sqrt{20}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{20}}$

Étape 1.3

Additionnez $\sqrt{5}$ et $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{20}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{4 (5)}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - (2 \sqrt{5})}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{(3 - 2 \sqrt{5}) (3 + 2 \sqrt{5})}$

Étape 5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{9 + 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{- 11}$

Étape 7

Regroupez $3 + 2 \sqrt{5}$ et $\sqrt{5}$ .

$\frac{4 ((3 + 2 \sqrt{5}) \sqrt{5})}{- 11}$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5})}{- 11}$

Étape 9

Multipliez $2 \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Étape 9.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}))}{- 11}$

Étape 9.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}))}{- 11}$

Étape 9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {\sqrt{5}}^{1 + 1})}{- 11}$

Étape 9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {\sqrt{5}}^{2})}{- 11}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 10.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 11}$

Étape 10.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 11}$

Étape 10.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}{- 11}$

Étape 10.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}{- 11}$

Étape 10.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{1})}{- 11}$

Étape 10.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5)}{- 11}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{- 11}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{11}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{11}$

Forme décimale :

$- 6.07571052 \dots$