Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{60} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$\frac{\sqrt{4 (15)} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1.3

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{4 (5)}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{15} - (2 \sqrt{5})}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{(\sqrt{5} - \sqrt{15}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{75} - \sqrt{75} - {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 10}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}$ et $- 10$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ .

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{- 10}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 (- 5)}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 \cdot - 5}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{15}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $15$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15 \cdot 15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $15$ par $15$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{225} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.7

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15^{2}} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.9

Multipliez $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Étape 4.2.1.9.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.9.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{1 + 1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 1 \cdot 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Étape 4.2.1.12

Multipliez $- \sqrt{5} \sqrt{15}$ .

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Étape 4.2.1.12.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{15 \cdot 5}}{- 5}$

Étape 4.2.1.12.2

Multipliez $15$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{75}}{- 5}$

Étape 4.2.1.13

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.1.13.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{25 (3)}}{- 5}$

Étape 4.2.1.13.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{- 5}$

Étape 4.2.1.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - (5 \sqrt{3})}{- 5}$

Étape 4.2.1.15

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - 5 \sqrt{3}}{- 5}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5 \sqrt{3}$ de $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 15 - 5}{- 5}$

Étape 4.2.3

Additionnez $0$ et $15$ .

$\frac{15 - 5}{- 5}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $5$ de $15$ .

$\frac{10}{- 5}$

Étape 5

Divisez $10$ par $- 5$ .

$- 2$