Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} + \sqrt{g}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} + \sqrt{g}}$ par $\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} - \sqrt{g}}$ .

$\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} + \sqrt{g}} \cdot \frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} - \sqrt{g}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} + \sqrt{g}}$ par $\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} - \sqrt{g}}$ .

$\frac{(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{(\sqrt{f} + \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{{\sqrt{f}}^{2} - \sqrt{f g} + \sqrt{g f} - {\sqrt{g}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{f} - \sqrt{g}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{1} (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{f} - \sqrt{g}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{1} {(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{1}}{f - g}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{1 + 1}}{f - g}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{2}}{f - g}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{2}$ comme $(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})$ .

$\frac{(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{f} (\sqrt{f} - \sqrt{g}) - \sqrt{g} (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{f} \sqrt{f} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{f} \sqrt{f} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $\sqrt{f} \sqrt{f}$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $\sqrt{f}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{f}}^{1} \sqrt{f} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.1.2

Élevez $\sqrt{f}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{f}}^{1} {\sqrt{f}}^{1} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{f}}^{1 + 1} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{f}}^{2} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.2

Réécrivez ${\sqrt{f}}^{2}$ comme $f$ .

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Étape 6.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{f}$ comme $f^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(f^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{f^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{f^{\frac{2}{2}} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f^{\frac{2}{2}} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f^{1} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.2.5

Simplifiez

$\frac{f + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{f - \sqrt{f} \sqrt{g} - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- \sqrt{g} (- \sqrt{g})$ .

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Étape 6.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + 1 \sqrt{g} \sqrt{g}}{f - g}$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $\sqrt{g}$ par $1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + \sqrt{g} \sqrt{g}}{f - g}$

Étape 6.1.6.3

Élevez $\sqrt{g}$ à la puissance $1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {\sqrt{g}}^{1} \sqrt{g}}{f - g}$

Étape 6.1.6.4

Élevez $\sqrt{g}$ à la puissance $1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {\sqrt{g}}^{1} {\sqrt{g}}^{1}}{f - g}$

Étape 6.1.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {\sqrt{g}}^{1 + 1}}{f - g}$

Étape 6.1.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {\sqrt{g}}^{2}}{f - g}$

Étape 6.1.7

Réécrivez ${\sqrt{g}}^{2}$ comme $g$ .

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Étape 6.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{g}$ comme $g^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {(g^{\frac{1}{2}})}^{2}}{f - g}$

Étape 6.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{f - g}$

Étape 6.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g^{\frac{2}{2}}}{f - g}$

Étape 6.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g^{\frac{2}{2}}}{f - g}$

Étape 6.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g^{1}}{f - g}$

Étape 6.1.7.5

Simplifiez

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g}{f - g}$

Étape 6.2

Soustrayez $\sqrt{f g}$ de $- \sqrt{g f}$ .

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Étape 6.2.1

Remettez dans l’ordre $g$ et $f$ .

$\frac{f - \sqrt{f g} - \sqrt{f g} + g}{f - g}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $\sqrt{f g}$ de $- \sqrt{f g}$ .

$\frac{f - 2 \sqrt{f g} + g}{f - g}$