Mathématiques de base Exemples

$\frac{z^{2} - 4}{z^{2} + 2 z - 35} \div \frac{z^{2} + 2 z}{z^{2} - 10 z + 25}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{z^{2} - 4}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 2^{2}}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 2$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 3

Factorisez $z^{2} + 2 z - 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 35$ et dont la somme est $2$ .

$- 5, 7$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 z = 2 \cdot z \cdot 5$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 5$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2} + 2 z$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2}$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z \cdot z + 2 z}$

Étape 5.1.2

Factorisez $z$ à partir de $2 z$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z \cdot z + z \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z + z \cdot 2$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z (z + 2)}$

Étape 5.2

Associez.

$\frac{(z + 2) (z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z (z + 2))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $z + 2$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z + 2) (z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z (z + 2))}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à ${(z - 5)}^{2}$ et $z - 5$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $z - 5$ à partir de $(z - 2) {(z - 5)}^{2}$ .

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) (z + 7) (z)}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $z - 5$ à partir de $(z - 5) (z + 7) (z)$ .

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) ((z + 7) (z))}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) ((z + 7) (z))}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(z - 2) (z - 5)}{(z + 7) (z)}$

Étape 5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(z - 2) (z - 5)}{(z + 7) (z)}$ .

$\frac{(z - 2) (z - 5)}{z (z + 7)}$