Mathématiques de base Exemples

$\frac{z^{2} - y^{2}}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $z^{- 2}$ comme ${(z^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $y^{- 2}$ comme ${(y^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z^{- 1}$ et $b = y^{- 1}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(z^{- 1} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.3

Pour écrire $\frac{1}{z}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.4

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $z y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{z}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.5.3

Réorganisez les facteurs de $z y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{y z} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - \frac{1}{y})}$

Étape 2.4.9

Pour écrire $\frac{1}{z}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Étape 2.4.10

Pour écrire $- \frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Étape 2.4.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $z y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.11.1

Multipliez $\frac{1}{z}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Étape 2.4.11.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{z}{y z})}$

Étape 2.4.11.3

Réorganisez les facteurs de $z y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{y z} - \frac{z}{y z})}$

Étape 2.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} \cdot \frac{y - z}{y z}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{y + z}{y z}$ par $\frac{y - z}{y z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y z (y z)}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y z \cdot z}}$

Étape 4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y^{1} z \cdot z}}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1 + 1} z \cdot z}}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z \cdot z}}$

Étape 4.5

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z)}}$

Étape 4.6

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z^{1})}}$

Étape 4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{1 + 1}}}$

Étape 4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{2}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(z + y) (z - y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 6

Développez $(z + y) (z - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(z (z - y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(z \cdot z + z (- y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)$ .

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Étape 7.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $z (- y)$ et $y z$ .

$(z \cdot z - y z + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 7.1.2

Additionnez $- y z$ et $y z$ .

$(z \cdot z + 0 + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 7.1.3

Additionnez $z \cdot z$ et $0$ .

$(z \cdot z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$(z^{2} + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 7.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(z^{2} - y \cdot y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 7.2.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.3.1

Déplacez $y$ .

$(z^{2} - (y \cdot y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(z^{2} - y^{2}) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 7.3

Multipliez $z^{2} - y^{2}$ par $\frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) (y^{2} z^{2})}{(y + z) (y - z)}$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $z + y$ et $y + z$ .

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Étape 9.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(z - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $z - y$ et $y - z$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $z$ .

$\frac{(- 1 (- z) - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Étape 9.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{(- 1 (- z) - (y)) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- z) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- z + y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Étape 9.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Étape 9.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Étape 9.2.6

Divisez $- 1 y^{2} z^{2}$ par $1$ .

$- 1 y^{2} z^{2}$

Étape 9.3

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$- y^{2} z^{2}$