Mathématiques de base Exemples

$\frac{\frac{y + 2}{y - 1} - \frac{y - 3}{y - 2}}{y + 2}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(y - 1) (y - 2)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{y + 2}{y - 1} - \frac{y - 3}{y - 2}}{y + 2}$ par $\frac{(y - 1) (y - 2)}{(y - 1) (y - 2)}$ .

$\frac{(y - 1) (y - 2)}{(y - 1) (y - 2)} \cdot \frac{\frac{y + 2}{y - 1} - \frac{y - 3}{y - 2}}{y + 2}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(y - 1) (y - 2) (\frac{y + 2}{y - 1} - \frac{y - 3}{y - 2})}{(y - 1) (y - 2) (y + 2)}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y - 1) (y - 2) \frac{y + 2}{y - 1} + (y - 1) (y - 2) (- \frac{y - 3}{y - 2})}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 1) (y - 2) \frac{y + 2}{y - 1} + (y - 1) (y - 2) (- \frac{y - 3}{y - 2})}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 2) (y + 2) + (y - 1) (y - 2) (- \frac{y - 3}{y - 2})}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y - 3}{y - 2}$ dans le numérateur.

$\frac{(y - 2) (y + 2) + (y - 1) (y - 2) \frac{- (y - 3)}{y - 2}}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 3.2.2

Factorisez $y - 2$ à partir de $(y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{(y - 2) (y + 2) + (y - 2) (y - 1) \frac{- (y - 3)}{y - 2}}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 2) (y + 2) + (y - 2) (y - 1) \frac{- (y - 3)}{y - 2}}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 2) (y + 2) + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(y - 2) (y + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (y + 2) - 2 (y + 2) + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 2 - 2 (y + 2) + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 2 - 2 y - 2 \cdot 2 + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $y \cdot y + y \cdot 2 - 2 y - 2 \cdot 2$ .

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Étape 4.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y \cdot 2$ et $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot y + 2 y - 2 y - 2 \cdot 2 + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{y \cdot y + 0 - 2 \cdot 2 + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.2.3

Additionnez $y \cdot y$ et $0$ .

$\frac{y \cdot y - 2 \cdot 2 + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 \cdot 2 + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{y^{2} - 4 + (y - 1) (- (y - 3))}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 4 + (y - 1) (- y - - 3)}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 4 + (y - 1) (- y + 3)}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.6

Développez $(y - 1) (- y + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 4 + y (- y + 3) - 1 (- y + 3)}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 4 + y (- y) + y \cdot 3 - 1 (- y + 3)}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 4 + y (- y) + y \cdot 3 - 1 (- y) - 1 \cdot 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2} - 4 - y \cdot y + y \cdot 3 - 1 (- y) - 1 \cdot 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.7.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} - 4 - (y \cdot y) + y \cdot 3 - 1 (- y) - 1 \cdot 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.7.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - 4 - y^{2} + y \cdot 3 - 1 (- y) - 1 \cdot 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.7.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\frac{y^{2} - 4 - y^{2} + 3 \cdot y - 1 (- y) - 1 \cdot 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.7.1.4

Multipliez $- 1 (- y)$ .

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Étape 4.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 4 - y^{2} + 3 y + 1 y - 1 \cdot 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.7.1.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - 4 - y^{2} + 3 y + y - 1 \cdot 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{y^{2} - 4 - y^{2} + 3 y + y - 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.7.2

Additionnez $3 y$ et $y$ .

$\frac{y^{2} - 4 - y^{2} + 4 y - 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.8

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{0 - 4 + 4 y - 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.9

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 + 4 y - 3}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 4.10

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$\frac{4 y - 7}{(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 5

Factorisez $(y - 1) (y - 2)$ à partir de $(y - 1) (y - 2) y + (y - 1) (y - 2) \cdot 2$ .

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Étape 5.1

Factorisez $(y - 1) (y - 2)$ à partir de $(y - 1) (y - 2) y$ .

$\frac{4 y - 7}{(y - 1) (y - 2) (y) + (y - 1) (y - 2) \cdot 2}$

Étape 5.2

Factorisez $(y - 1) (y - 2)$ à partir de $(y - 1) (y - 2) \cdot 2$ .

$\frac{4 y - 7}{(y - 1) (y - 2) (y) + (y - 1) (y - 2) (2)}$

Étape 5.3

Factorisez $(y - 1) (y - 2)$ à partir de $(y - 1) (y - 2) (y) + (y - 1) (y - 2) (2)$ .

$\frac{4 y - 7}{(y - 1) (y - 2) (y + 2)}$