Mathématiques de base Exemples

$\frac{y^{2} - 6 y + 9}{- (y^{2} - 4)} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} - 8 y + 12}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{y^{2} - 6 y + 9}{- (y^{2} - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + 3^{2}}{- (y^{2} - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2}}{- (y^{2} - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{- (y^{2} - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{- (y^{2} - 2^{2})} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{- (y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Étape 5

Factorisez $y^{2} - 8 y + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{y^{2} - 9}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{y^{2} - 3^{2}}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)}$ dans le numérateur.

$\frac{- {(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.1.2

Factorisez $y - 3$ à partir de $- {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (- (y - 3))}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $y - 3$ à partir de $(y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y - 3) (- (y - 3))}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y - 3) (y + 3)}$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 3) (- (y - 3))}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y - 3) (y + 3)}$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (y - 3)}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{y + 3}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $y - 2$ à partir de $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{- (y - 3)}{(y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{y + 3}$

Étape 7.2.2

Factorisez $y - 2$ à partir de $(y - 6) (y - 2)$ .

$\frac{- (y - 3)}{(y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 2) (y - 6)}{y + 3}$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (y - 3)}{(y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 2) (y - 6)}{y + 3}$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (y - 3)}{y + 2} \cdot \frac{y - 6}{y + 3}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{- (y - 3)}{y + 2}$ par $\frac{y - 6}{y + 3}$ .

$\frac{- (y - 3) (y - 6)}{(y + 2) (y + 3)}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(y - 3) (y - 6)}{(y + 2) (y + 3)}$