Mathématiques de base Exemples

$\frac{1 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{15}}$ par $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{15}}$ par $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{(3 \sqrt{5} - \sqrt{15}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{9 {\sqrt{5}}^{2} + 3 \sqrt{75} - 3 \sqrt{75} - {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{30}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Développez $(1 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (3 \sqrt{5} + \sqrt{15}) - \sqrt{3} (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{30}$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (3 \sqrt{5}) + 1 \sqrt{15} - \sqrt{3} (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{30}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (3 \sqrt{5}) + 1 \sqrt{15} - \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $3 \sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 1 \sqrt{15} - \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $\sqrt{15}$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- \sqrt{3} (3 \sqrt{5})$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Étape 3.2.1.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{5 \cdot 3} - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Étape 3.2.1.3.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} \sqrt{15}$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{15 \cdot 3}}{30}$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{45}}{30}$

Étape 3.2.1.5

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{9 (5)}}{30}$

Étape 3.2.1.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{30}$

Étape 3.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - (3 \sqrt{5})}{30}$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{5}}{30}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{5}$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{0 + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15}}{30}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{15} - 3 \sqrt{15}}{30}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $3 \sqrt{15}$ de $\sqrt{15}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{15}}{30}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $30$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{15})}{30}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{2 (- \sqrt{15})}{2 (15)}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{15})}{2 \cdot 15}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{15}}{15}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{15}}{15}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{15}}{15}$

Forme décimale :

$- 0.25819888 \dots$