Mathématiques de base Exemples

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2 - 6 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2 - 6 i}$ par le conjugué de $2 - 6 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2 - 6 i} \cdot \frac{2 + 6 i}{2 + 6 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (2 + 6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(1 + i \sqrt{3}) (2 + 6 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (2 + 6 i) + i \sqrt{3} (2 + 6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 2 + 1 (6 i) + i \sqrt{3} (2 + 6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 2 + 1 (6 i) + i \sqrt{3} \cdot 2 + i \sqrt{3} (6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 1 (6 i) + i \sqrt{3} \cdot 2 + i \sqrt{3} (6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $6 i$ par $1$ .

$\frac{2 + 6 i + i \sqrt{3} \cdot 2 + i \sqrt{3} (6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $i \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 \cdot (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $i \sqrt{3} (6 i)$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 (i^{1} i))}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 (i^{1} i^{1}))}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 i^{1 + 1})}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 i^{2})}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 \cdot - 1)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 6}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.2.7

Déplacez $- 6$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}$ et $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(2 - 6 i) (2 + 6 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{2 (2 + 6 i) - 6 i (2 + 6 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 2 + 2 (6 i) - 6 i (2 + 6 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 2 + 2 (6 i) - 6 i \cdot 2 - 6 i (6 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 2 (6 i) - 6 i \cdot 2 - 6 i (6 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 6 i \cdot 2 - 6 i (6 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 6 i (6 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $12 i$ de $12 i$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 0 - 36 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 - 36 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 - 36 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 36$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 36}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $36$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}$ et $40$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 \cdot 1 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $6 i$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 \cdot 1 + 2 (3 i) + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (3 i)$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 (1 + 3 i) + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 i \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 (1 + 3 i) + 2 (i \sqrt{3})}{40}$

Étape 3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 + 3 i) + 2 (i \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 (1 + 3 i + i \sqrt{3})}{40}$

Étape 3.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 (1 + 3 i + i \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3} + 1 + 3 i + i \sqrt{3})}{40}$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3} + 1 + 3 i + i \sqrt{3})}{2 (20)}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3} + 1 + 3 i + i \sqrt{3})}{2 \cdot 20}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 \sqrt{3} + 1 + 3 i + i \sqrt{3}}{20}$

Étape 4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3}) + 1 + 3 i + i \sqrt{3}}{20}$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3}) - 1 (- 1) + 3 i + i \sqrt{3}}{20}$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 \sqrt{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1) + 3 i + i \sqrt{3}}{20}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1) - (- 3 i) + i \sqrt{3}}{20}$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 \sqrt{3} - 1) - (- 3 i)$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i) + i \sqrt{3}}{20}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i) - (- i \sqrt{3})}{20}$

Étape 10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i) - (- i \sqrt{3})$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3})}{20}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Réécrivez $- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3})$ comme $- 1 (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3})}{20}$

Étape 11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3}}{20}$

Étape 12

Divisez la fraction $\frac{3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3}}{20}$ en deux fractions.

$- (\frac{3 \sqrt{3} - 1 - 3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Étape 13

Divisez la fraction $\frac{3 \sqrt{3} - 1 - 3 i}{20}$ en deux fractions.

$- (\frac{3 \sqrt{3} - 1}{20} + \frac{- 3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Étape 14

Divisez la fraction $\frac{3 \sqrt{3} - 1}{20}$ en deux fractions.

$- (\frac{3 \sqrt{3}}{20} + \frac{- 1}{20} + \frac{- 3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{3 \sqrt{3}}{20} - \frac{1}{20} + \frac{- 3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{3 \sqrt{3}}{20} - \frac{1}{20} - \frac{3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Étape 17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{3 \sqrt{3}}{20} - \frac{1}{20} - \frac{3 i}{20} - \frac{i \sqrt{3}}{20})$